Az A. 649. feladat (2015. szeptember)

A. 649. Egy konvex poliédernek minden lapja négyszög. Mutassuk meg, hogy a poliéder lapjait háromszögekre bonthatjuk egy-egy átló meghúzásával úgy, hogy a poliéder minden csúcsánál páros számú háromszög találkozzon.

Javasolta: Nagy János, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A poliéder minden lapján, a négy él mindegyike mellé az \(\displaystyle 1\) vagy a \(\displaystyle 2\) számokat fogjuk írni úgy, hogy a következők teljesüljenek:

   (1) Minden lapon az egymással szemközti élekhez különböző számokat írunk;

   (2) Minden egyes él mellé a két csatlakozó lapra különböző számokat írunk.

Tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcsai a poliéder élei, és poliéder két éle akkor szomszédos, ha valamelyik lapnak szemközti élei. A gráfban a poliéder minden élének két szomszédja van, ezért a gráf minden komponense kör. Irányítsuk ezeket a köröket; így minden szomszédos élpárban az egyik poliéderél a másiknak rákövetkezője; a korábbi mellé írjunk \(\displaystyle 1\)-et, a rákövetkező poliéderél mellé \(\displaystyle 2\)-t. Ezzel elérjük, hogy az (1) és (2) tulajdonságok teljesüljenek.

Az (1) tulajdonság miatt a poliédernek minden lapján két \(\displaystyle 1\)-es és két \(\displaystyle 2\)-es szám szerepel; az \(\displaystyle 1\)-es élek valamelyik csúcsban összetalálkoznak. Húzzuk meg minden poliéderlapon azt az átlót, amelynek egyik oldalán a két \(\displaystyle 1\)-es, másik oldalán a két \(\displaystyle 2\)-es szám szerepel --- ez az átló két háromszögre bontja a lapot ---, és színezzük ki pirosra, illetve kékre azt a háromszöget, aminek két oldala mellé az \(\displaystyle 1\)-eseket, illetve a \(\displaystyle 2\)-eseket írtuk.

Ha a poliéder felszínén két háromszög szomszédos, akkor a vagy ugyanazon a lapon vannak, így ellentétes színűek, vagy pedig a két háromszög a poliéder valamelyik élénél találkozik, és akkor a (2) tulajdonság miatt ellentétes színűek.

A poliéder bármely csúcsa körül felváltva következnek a piros és kék háromszögek; ebből következik, hogy bármely csúcsnál páros számú háromszög találkozik.

Megjegyzés. A megoldás során nem használtuk ki a test konvexitását. Az állítás általánosabban, tetszőleges négszöglapokra bontott zárt felület (sokaság) esetén teljesül; arra sincs szükség, hogy a felület irányítható legyen.

Lajkó Kálmán és Bodnár Levente megoldása alapján

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bodnár Levente, Lajkó Kálmán.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai