Az A. 656. feladat (2015. december)

A. 656. Legyen \(\displaystyle p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\) valós együtthatós polinom, amelyre \(\displaystyle x\ge0\) esetén \(\displaystyle p(x)\ge0\). Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív számok esetén

\(\displaystyle a_0 + a_1(c+d) + a_2(c+d)(c+2d) + \ldots + a_n(c+d)(c+2d)\ldots(c+nd) \ge0. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle s>0\) esetén \(\displaystyle \Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t\) az Euler-féle Gamma-függvény (a faktoriális általánosítása); erre jól ismert az \(\displaystyle \Gamma(s+1)=\Gamma(s)\cdot s\) azonosság.

Tetszőleges \(\displaystyle A,B>0\) esetén a \(\displaystyle t=Bx\) helyettesítéssel

\(\displaystyle \int_0^\infty x^A e^{-Bx} \,\mathrm{d}x = \frac1{B^{A+1}} \int_0^\infty t^A e^{-t} \,\mathrm{d}t = \frac{\Gamma(A+1)}{B^{A+1}}, \)

így

\(\displaystyle 0 \le \int_0^\infty p(x) \cdot x^A e^{-Bx} \,\mathrm{d}x = \)

\(\displaystyle = \int_0^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_kx^k \right) x^A e^{-Bx} \,\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^n a_k \int_0^\infty x^{A+k} e^{-Bx} \,\mathrm{d}x = \)

\(\displaystyle = \sum_{k=0}^na_k \frac{\Gamma(A+k+1)}{B^{A+k+1}} = \frac{\Gamma(A+1)}{B^{A+1}} \sum_{k=0}^na_k \frac{(A+1)(A+2)\cdots(A+k)}{B^k} = \)

\(\displaystyle = \frac{\Gamma(A+1)}{B^{A+1}} \sum_{k=0}^na_k \left(\frac{A}{B}+\frac1{B}\right) \left(\frac{A}{B}+\frac2{B}\right) \cdots \left(\frac{A}{B}+\frac{k}{B}\right). \)

Az \(\displaystyle A=\frac{c}{d}\), \(\displaystyle B=\frac1{d}\) választással ez éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség.

Statisztika:

2 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bukva Balázs.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai