Az A. 662. feladat (2016. február)

A. 662. Az $\displaystyle A_1$, $\displaystyle A_2$, $\displaystyle A_3$, $\displaystyle A_4$, $\displaystyle B_1$, $\displaystyle B_2$, $\displaystyle B_3$, $\displaystyle B_4$ pontok, ebben a sorrendben, egy parabolán vannak. Minden $\displaystyle (i,j)$ pár esetén, amelyre $\displaystyle 1\le i,j\le4$ és $\displaystyle i\ne j$, jelölje $\displaystyle r_{ij}$ azt az arányt, amelyben az $\displaystyle A_jB_j$ egyenes kettéosztja az $\displaystyle A_iB_i$ szakaszt. (Ha tehát $\displaystyle A_iB_i$ és $\displaystyle A_jB_j$ metszéspontja $\displaystyle X$, akkor $\displaystyle r_{ij}=\frac{A_iX}{XB_i}$.) Mutassuk meg, hogy ha az $\displaystyle r_{12} \cdot r_{21} \cdot r_{34} \cdot r_{43}$, $\displaystyle r_{13} \cdot r_{31} \cdot r_{24} \cdot r_{42}$ és $\displaystyle r_{14} \cdot r_{41} \cdot r_{23} \cdot r_{32}$ számok közül közül valamelyik kettő megegyezik, akkor a harmadik is egyenlő velük.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás (vázlat). Helyezzük el a parabolát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy az egyenlete $\displaystyle y=x^2$ legyen. Legyen $\displaystyle A_i=(a_i,a_i^2)$ és $\displaystyle B_i=(b_i,b_i^2)$; feltehetjük, hogy $\displaystyle a_1<a_2<a_3<a_4<b_1<b_2<b_3<b_4$.

Könnyű ellenőrizni, hogy bármely $\displaystyle 1\le i,j\le 4$, $\displaystyle i\ne j$ indexpárra az $\displaystyle A_iB_i$ és $\displaystyle A_jB_j$ szakaszok metszéspontja

$\displaystyle \left( \frac{a_jb_j-a_ib_i}{a_j+b_j-a_i-b_i}; \frac{a_ia_jb_j-a_jb_ib_j-a_ia_jb_i-a_ib_ib_j}{a_j+b_j-a_i-b_i} \right)$

és

$\displaystyle r_{ij} = \frac{(a_j-a_i)(b_j-a_i)}{(b_i-a_j)(b_j-b_i)}.$

Ezt behelyettesítve,

$\displaystyle r_{12}r_{21}r_{34}r_{43} = \frac{(a_2-a_1)^2(a_4-a_3)^2}{(b_2-b_1)^2(b_4-b_3)^2},$

$\displaystyle r_{13}r_{31}r_{24}r_{42} = \frac{(a_3-a_1)^2(a_4-a_2)^2}{(b_3-b_1)^2(b_4-b_2)^2},$

$\displaystyle r_{14}r_{41}r_{23}r_{32} = \frac{(a_4-a_1)^2(a_3-a_2)^2}{(b_4-b_1)^2(b_3-b_2)^2}$

avagy, gyököt vonva és a nevezőkkel átszorozva,

Vegyük észre, hogy

$\displaystyle (a_2-a_1)(a_4-a_3) + (a_4-a_1)(a_3-a_2) = (a_3-a_1)(a_4-a_2),$

és hasonlóan,

$\displaystyle (b_2-b_1)(b_4-b_3) + (b_4-b_1)(b_3-b_2) = (b_3-b_1)(b_4-b_2).$

vagyis, ha a jobboldalakon a három négyzetgyök egyenlő egymással, akor (1) és (3) összege éppen (2)-t adja.

Ha $\displaystyle r_{12}r_{21}r_{34}r_{43}=r_{14}r_{41}r_{23}r_{32}$, akkor (1) és (3) összegét (2)-vel összehasonlítva látjuk, hogy $\displaystyle r_{13}r_{31}r_{24}r_{42}$ is ugyanakkora. Ha $\displaystyle r_{12}r_{21}r_{34}r_{43}=r_{13}r_{31}r_{24}r_{42}$, akkor (2) és (1) különbségét vetjük össze (3)-mal; ha pedig $\displaystyle r_{13}r_{31}r_{24}r_{42}=r_{14}r_{41}r_{23}r_{32}$, akkor (2) és (3) különbségét hasonlítjuk össze (1)-gyel.

2. megoldás. Parabola helyett valójában bármilyen nem elfajuló kúpszelettel igaz az állítás. A megoldás első lépéseként visszavezetjük az állítást a kör esetére.

Helyezzük el a parabolát egy forgáskúp palástján, és a kúp csúcsábül vetítsük az ábrát egy, a kúp tengelyére merőleges síkra; így a parabola képe egy $\displaystyle k$ kör lesz. Legyen az $\displaystyle A_i$ pont képe $\displaystyle C_i$, a $\displaystyle B_i$ képe $\displaystyle D_i$. Legyen minden $\displaystyle i\ne j$ indexpárra $\displaystyle X_{ij} = A_iB_i \cap A_jB_j$; ennek vetített képe az $\displaystyle Y_{ij} = C_iD_i \cap C_jD_j$ pont. Az $\displaystyle X_{ij}$ és $\displaystyle Y_{ij}$ pontok jelölésében a két index szerepe szimmetrikus, így $\displaystyle X_{ji}=X_{ij}$ és $\displaystyle Y_{ji}=Y_{ij}$. Az $\displaystyle r_{ij}$ arányok mintájára legyen $\displaystyle s_{ij}=\frac{C_iY_{ij}}{Y_{ij}D_i}$.

Vegyük észre, hogy tetszőleges $\displaystyle i,j,k$, különböző indexekre

$\displaystyle \frac{r_{ij}}{r_{ik}} = \frac{A_iX_{ij}}{X_{ij}B_i} : \frac{A_iX_{ik}}{X_{ik}B_i} = (A_i,B_i,X_{ij},X_{ik}).$

Mivel a vetítés megtartja a kettősviszonyt,

$\displaystyle \frac{r_{ij}}{r_{ik}} = (A_i,B_i,X_{ij},X_{ik}) = (C_i,D_i,Y_{ij},Y_{ik}) = \frac{C_iY_{ij}}{Y_{ij}D_i} : \frac{C_iY_{ik}}{Y_{ik}D_i} = \frac{s_{ij}}{s_{ik}}.$

Ennek egyszerű következménye, hogy az $\displaystyle r_{12}r_{21}r_{34}r_{43}$, $\displaystyle r_{13}r_{31}r_{24}r_{42}$ és $\displaystyle r_{14}r_{41}r_{23}r_{32}$ számok aránya ugyanaz, mint az $\displaystyle s_{12}s_{21}s_{34}s_{43}$, $\displaystyle s_{13}s_{31}s_{24}s_{42}$ és $\displaystyle s_{14}s_{41}s_{23}s_{32}$ számok aránya. Például,

$\displaystyle \frac{r_{12}r_{21}r_{34}r_{43}}{r_{13}r_{31}r_{24}r_{42}} = \frac{r_{12}}{r_{13}} \cdot \frac{r_{21}}{r_{24}} \cdot \frac{r_{34}}{r_{31}} \cdot \frac{r_{43}}{r_{42}} = \frac{s_{12}}{s_{13}} \cdot \frac{s_{21}}{s_{24}} \cdot \frac{s_{34}}{s_{31}} \cdot \frac{s_{43}}{s_{42}} = \frac{s_{12}s_{21}s_{34}s_{43}}{s_{13}s_{31}s_{24}s_{42}}.$

(A másik két párra ez ugyanígy ellenőrizhető.)

A feladat állítása tehát ekvivalens a következővel:

A kerületi szögek tétele miatt a $\displaystyle C_iC_jY_{ij}$ és $\displaystyle D_jD_iY_{ij}$ háromszögek hasonlók, így

$\displaystyle s_{ij}s_{ji} = \frac{C_iY_{ij}}{Y_{ij}D_i}\cdot \frac{C_jY_{ij}}{Y_{ij}D_j} = \frac{C_iY_{ij}}{Y_{ij}D_j}\cdot \frac{C_jY_{ij}}{Y_{ij}D_i} = \left(\frac{C_iC_j}{D_iD_j}\right)^2.$

Ezt behelyettesítve,

$\displaystyle s_{12}s_{21}s_{34}s_{43} = \left(\frac{C_1C_2\cdot C_3C_4}{D_1D_2\cdot D_3D_4}\right)^2; \quad s_{13}s_{31}s_{24}s_{42} = \left(\frac{C_1C_3\cdot C_2C_4}{D_1D_3\cdot D_2D_4}\right)^2; \quad s_{14}s_{41}s_{23}s_{32} = \left(\frac{C_1C_4\cdot C_2C_3}{D_1D_4\cdot D_2D_3}\right)^2.$

Írjuk fel a Ptoleimaiosz-tételt az $\displaystyle C_1C_2C_3C_4$ és $\displaystyle D_1D_2D_3D_4$ húrnégyszögekre:

$\displaystyle C_1C_2\cdot C_3C_4+C_1C_4\cdot C_2C_3 = C_1C_3\cdot C_2C_4; \quad D_1D_2\cdot D_3D_4+D_1D_4\cdot D_2D_3 = D_1D_3\cdot D_2D_4.$

Ebből láthatjuk, hogy

$\displaystyle \frac{ D_1D_2\cdot D_3D_4 \cdot \sqrt{s_{12}s_{21}s_{34}s_{43}} + D_1D_4\cdot D_2D_3 \cdot \sqrt{s_{14}s_{41}s_{23}s_{32}}}{ D_1D_2\cdot D_3D_4+D_1D_4\cdot D_2D_3} =$

$\displaystyle = \frac{C_1C_2\cdot C_3C_4+C_1C_4\cdot C_2C_3}{ D_1D_2\cdot D_3D_4+D_1D_4\cdot D_2D_3} = \frac{C_1C_4\cdot C_2C_3}{D_1D_4\cdot D_2D_3} = \sqrt{s_{13}s_{31}s_{24}s_{42}};$

máa szóval, a $\displaystyle \sqrt{s_{12}s_{21}s_{34}s_{43}}$ és $\displaystyle \sqrt{s_{14}s_{41}s_{23}s_{32}}$ számok súlyozott átlaga a $\displaystyle D_1D_2\cdot D_3D_4$ és $\displaystyle D_1D_4\cdot D_2D_3$ súlyokkal éppen $\displaystyle \sqrt{s_{13}s_{31}s_{24}s_{42}}$. Ebből következik, hogy ha a három szám közül bármelyik kettő megegyezik, akkor a harmadik is egyenlő velük.

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bodnár Levente, Bukva Balázs, Glasznova Maja, Imolay András, Williams Kada.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai