Az A. 676. feladat (2016. szeptember)

A. 676. Legyen a $\displaystyle \mathcal{K}$ kör egy átmérője $\displaystyle OI$. Konstruáljunk kölcsönösen egyértelmű $\displaystyle f \colon \mathcal{K}\setminus \{O,I\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$ megfeleltetést a következő tulajdonsággal: $\displaystyle \mathcal{K}$ bármely négy, $\displaystyle O$-tól, $\displaystyle I$-től és egymástól is különböző $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, $\displaystyle D$ pontjára $\displaystyle f(A)f(B) = f(C)f(D)$ akkor és csak akkor teljesül, ha az $\displaystyle AB$, $\displaystyle CD$ és $\displaystyle OI$ egyenesek egy ponton mennek át, vagy pedig párhuzamosak egymással.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Egy lehetséges függvény $\displaystyle f(X)= \pm\frac{IX}{XO} = \tg IOX\angle$, ahol az $\displaystyle IOX\angle$ szöget előjelesen értjük: az értéke pozitív, ha az $\displaystyle OIX$ háromszög pozitív körüljárású, illetve negatív, ha a háromszög negatív körüljárású. Az $\displaystyle IOX\angle$ szög a $\displaystyle 0$ kivételével minden értéket felvesz a $\displaystyle (-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2)$ intervallumban, így az $\displaystyle f$ függvény is pontosan egyszer vesz fel minden $\displaystyle 0$-tól különböző valós értéket, vagyis $\displaystyle f$ valóban egy kölcsönösen egyértelmű $\displaystyle f \colon \mathcal{K}\setminus \{O,I\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$ megfeleltetés.

Az $\displaystyle f$ függvény definíciójából láthatjuk, hogy tetszőleges $\displaystyle X,Y$ pontokra

$\displaystyle \frac{f(X)}{f(Y)} = \pm\frac{IX}{XO}:\frac{IY}{YO} = (I,O,X,Y),$

ahol $\displaystyle (I,O,X,Y)$ a négy pontnak a $\displaystyle k$ körön vett kettősviszonya.

A feladatban előírt tulajdonság bizonyításához tekintsünk a körön négy tetszőleges, $\displaystyle O$-tól és $\displaystyle I$-től különböző pontot: $\displaystyle A,B,C,D$-t. Legyen az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle OI$ egyenesek metszéspontja $\displaystyle M$. (Ha $\displaystyle AB$ és $\displaystyle OI$ párhuzamos, akkor legyen $\displaystyle M$ az $\displaystyle OI$ egyenes ideális pontja.) A $\displaystyle CM$ egyenes és a $\displaystyle \mathcal{K}$ kör második, $\displaystyle C$-től különböző metszéspontja legyen $\displaystyle D_1$. (Ha $\displaystyle CM$ érinti a kört, akkor $\displaystyle D_1=C$.)

Az $\displaystyle I,O,A,C$ pontokat az $\displaystyle M$ ponton keresztül visszavetítve a körre, rendre az $\displaystyle O,I,B,D_1$ pontokat kapjuk. Mint inverzió segítségével igazolható, egy körről (és így kúpszeletről) tetszőleges pontból önmagára visszavetítve, a pontnégyesek kettősviszonya megmarad. Ezért

$\displaystyle \frac{f(A)}{f(C)} = (I,O,A,C) = (O,I,B,D_1) = (I,O,D_1,B) = \frac{f(D_1)}{f(B)},$

$\displaystyle f(A) \cdot f(B) = f(C) \cdot f(D_1).$

A $\displaystyle CD$ egyenes akkor és csak akkor megy át az $\displaystyle M$ ponton, ha $\displaystyle D=D_1$, azaz, ha $\displaystyle f(C)\cdot f(D) = f(C)\cdot f(D_1) = f(A)\cdot f(B)$.

Megjegyzés. Kettősviszonyok használata nélkül, például az $\displaystyle MIA$ és $\displaystyle MBO$, az $\displaystyle MIB$ és $\displaystyle MAO$, az $\displaystyle MIC$ és $\displaystyle MD_1O$, illetve az $\displaystyle MID_1$ és $\displaystyle MAC$ háromszögek hasonlóságából is levezethető, hogy

$\displaystyle f(A) \cdot f(B) = f(C) \cdot f(D_1) = \frac{MI}{MO}.$

(Az utolsó tört előjele negatív, ha az $\displaystyle MI$ és $\displaystyle MO$ szakaszok ellentétes irányúak.)

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Gáspár Attila, Imolay András, Lajkó Kálmán, Németh 123 Balázs, Tóth Viktor, Váli Benedek, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Egri Máté, Kerekes Anna, Matolcsi Dávid.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai