Az A. 680. feladat (2016. november)

A. 680. Legyen $\displaystyle M(x)$ olyan valós együtthatós polinom, amelynek nincs valós gyöke. Igazoljuk, hogy tetszőleges $\displaystyle P(x)$ valós együtthatós polinomhoz létezik olyan $\displaystyle Q(x)$ valós együtthatós polinom, amelyre $\displaystyle P{(x)}^2+Q{(x)}^2$ osztható az $\displaystyle M(x)$ polinommal.

(2016. évi Schweitzer-feladat nyomán)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az állítást nyilván elég abban az esetben igazolni, ha $\displaystyle M$ főegyütthatója $\displaystyle 1$.

Az algebra alaptétele szerint az $\displaystyle M$ polinom komplex gyöktényezők szorzatára bomlik: ha a polinom gyökei $\displaystyle r_1,\ldots,r_n$, akkor

$\displaystyle M(x) = \prod_{k=1}^n (x-r_k).$

Mivel $\displaystyle M$ valós együtthatós, és nincs tisztán valós gyöke, a komplex gyökök konjugált párokra oszthatók. Legyen $\displaystyle M^+$ és $\displaystyle M^-$ a pozitív, illetve a negatív képzetes részű gyökökhöz tartozó gyöktényezők szorzata:

$\displaystyle M^+(x) = \prod_{\substack{1\le k\le n\\ \textrm{Im}\,r_k>0}} (x-r_k), \quad M^-(x) = \prod_{\substack{1\le k\le n\\ \textrm{Im}\,r_k<0}} (x-r_k).$

Az $\displaystyle M^+$ és $\displaystyle M^-$ polinomok együtthatói egymás konjugáltjai, nincs közös komplex gyökük, és a szorzatuk $\displaystyle M$. A $\displaystyle M^+$ polinom együtthatóinak valós és képzetes részét véve,

$\displaystyle M^+ = A + i\cdot B \quad\text{és}\quad M^- = A - i\cdot B,$

ahol az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ polinomok valós együtthatósak.

Vegyük észre, hogy az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ polinomoknak nem lehet közös komplex gyöke: ha valamilyen $\displaystyle c$ komplex számra $\displaystyle A(c)=B(c)=0$ lenne, akkor $\displaystyle M^+(c)=A(c)+i\cdot B(c)=0$ és $\displaystyle M^-(c)=A(c)-i\cdot B(c)=0$ egyszerre teljesülne, márpedig az $\displaystyle M^+$ és $\displaystyle M^-$ polinomoknak nincs komplex gyöke. Az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ polinomok tehát relatív prímek.

Az Euklideszi algoritmus előállít olyan $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$, szintén valós együtthatós polinomokat, amelyekre

$\displaystyle AC-BD = \textrm{lnko}\big(A,B\big) = 1.$

Ezekre a polinomokra

$\displaystyle \big(A+iB\big)\big(C+iD\big) = 1 + i\big(AD+BC\big) \quad\text{és}\quad \big(A-iB\big)\big(C-iD\big) = 1 - i\big(AD+BC\big),$

így

$\displaystyle M \cdot \big(C^2+D^2\big) = \big(A+iB\big)\big(A-iB\big) \big(C+iD\big)\big(C-iD\big) = \Big(1+i\big(AD+BC\big)\Big)\Big(1-i\big(AD+BC\big)\Big) = 1 + \big(AD+BC\big)^2,$

$\displaystyle M \cdot \big(C^2+D^2\big) P^2 = P^2 + \Big(\big(AD+BC\big)P\Big)^2.$

A $\displaystyle Q=\big(AD+BC\big)P$ választás esetén tehát a $\displaystyle P^2+Q^2$ polinom osztható az $\displaystyle M$ polinommal.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Williams Kada.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai