Az A. 682. feladat (2016. november)

A. 682. Legyen \(\displaystyle A_1B_1C_1D_1E_1F_1A_2B_2C_2D_2E_2F_2\) olyan húrtizenkétszög, amelyben az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle B_1B_2\) és \(\displaystyle C_1C_2\) átlók egy ponton mennek át, az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle E_1E_2\) és \(\displaystyle F_1F_2\) átlók egy ponton mennek át, a \(\displaystyle C_1C_2\), \(\displaystyle D_1D_2\) és \(\displaystyle E_1E_2\) átlók egy ponton mennek át, végül a \(\displaystyle B_1B_2\), \(\displaystyle D_1D_2\) és \(\displaystyle F_1F_2\) átlók is egy ponton mennek át. Legyen \(\displaystyle k_A\), \(\displaystyle k_C\) és \(\displaystyle k_E\) három körív a tizenkétszög köré írt kör belsejében úgy, hogy \(\displaystyle k_A\) az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) pontokat, \(\displaystyle k_C\) a \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\) pontokat, \(\displaystyle k_E\) pedig az \(\displaystyle E_1\) és \(\displaystyle E_2\) pontokat köti össze. A három körív metszéspontjai legyenek \(\displaystyle B=k_A\cap k_C\), \(\displaystyle D=k_C\cap k_E\) és \(\displaystyle F=k_A\cap k_E\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle B_1BB_2\), \(\displaystyle D_1DD_2\) és \(\displaystyle F_1FF_2\) körívek egy ponton mennek át. (Ezek a körívek egyenes szakasszá fajulnak, ha a megadott pontjaik egy egyenesre esnek.)

Marcello Mamino (Drezda), Luca Ghidelli (Ottawa) és Ilya Bogdanov (Moszkva)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle B_1B_2\) és \(\displaystyle C_1C_2\) közös pontja a \(\displaystyle P\) pont, \(\displaystyle C_1C_2\), \(\displaystyle D_1D_2\) és \(\displaystyle E_1E_2\) közös pontja a \(\displaystyle Q\) pont, \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle E_1E_2\) és \(\displaystyle F_1F_2\) közös pontja az \(\displaystyle R\) pont, \(\displaystyle B_1B_2\), \(\displaystyle D_1D_2\) és \(\displaystyle F_1F_2\) közös pontja az \(\displaystyle S\) pont.

Ha az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle C_1C_2\), \(\displaystyle E_1E_2\) szakaszok nem mennek át egy ponton, akkor a \(\displaystyle P,Q,R\) pontok egy háromszöget alkotnak. A \(\displaystyle B_1B_2\), \(\displaystyle D_1D_2\), \(\displaystyle F_1F_2\) egyenesek a \(\displaystyle RP\), \(\displaystyle PQ\), illetve \(\displaystyle QR\) szakaszt egy-egy belső pontjukban metszik, és \(\displaystyle S\) belső pontja a \(\displaystyle QRP\) háromszögnek (baloldali ábra). Nevezzük ezt "általános" esetnek. Ezzel szemben, ha az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle C_1C_2\), \(\displaystyle E_1E_2\) szakaszok egy ponton mennek át, akkor \(\displaystyle P=Q=R\), és ezen a ponton a \(\displaystyle B_1B_2\), \(\displaystyle D_1D_2\), \(\displaystyle F_1F_2\) szakaszok is átmennek. Ilyenkor tehát az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle B_1B_2\), \(\displaystyle C_1C_2\), \(\displaystyle D_1D_2\), \(\displaystyle E_1E_2\), \(\displaystyle F_1F_2\) szakaszok mind egy ponton mennek át (jobboldali ábra) Nevezzük ezt "elfajuló" esetnek.

Mint több versenyzők is észrevette, az elfajuló esetben az állítás hamis:

A továbbiakban ezért csak az általános esetet vizsgáljuk, amikor az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle C_1C_2\) és \(\displaystyle E_1E_2\) egyenesek egyike sem megy át az \(\displaystyle S\) ponton.

Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy a tizenkétszög köré írt kör legyen az egységkör. Azt fogjuk mondani, hogy egy \(\displaystyle \mathcal{H}\) ponthalmaznak egy \(\displaystyle f\) függvény "egyenlete", ha a sík bármely \(\displaystyle X=(x,y)\) pontjára \(\displaystyle f(X)=0\) akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle X\in\mathcal{H}\). Az alakzatokra és az egyenletükre ugyanazt a jelölést fogjuk használni, így pl. \(\displaystyle k_A\) jelenti \(\displaystyle A_1AA_2\) kört (vagy egyenest) és annak egy egyenletét is; ez nem fog zavart okozni.

Jól tudjuk, hogy minden egyenesnek van lineáris egyenlete, és minden körnek van olyan másodfokú egyenlete, amelynek másodfokú része \(\displaystyle c|OX|^2=c(x^2+y^2)\) alakú. A körülírt kör egy egyenlete \(\displaystyle \varOmega(X)=|OX|^2-1\).

Legyen az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle C_1C_2\), \(\displaystyle E_1E_2\) egyenesek egy-egy lineáris egyenlete \(\displaystyle \ell_A\), \(\displaystyle \ell_C\), illetve \(\displaystyle \ell_E\). Mivel a három egyenes nem megy át az \(\displaystyle S\) ponton, \(\displaystyle \ell_A(S)\ne0\), \(\displaystyle \ell_C(S)\ne0\), és \(\displaystyle \ell_E(S)\ne0\); az egyenleteket alkalmas konstansokkal megszorozva elérhetjük, hogy egyúttal \(\displaystyle \ell_A(S)=\ell_C(S)=\ell_E(S)=1\) is teljesüljön.

Az \(\displaystyle \ell_B=\ell_A-\ell_C\) egyenlet teljesül a \(\displaystyle P\) és az \(\displaystyle S\) pontra is, mert \(\displaystyle P\) közös pontja az \(\displaystyle \ell_A\) és \(\displaystyle \ell_C\) egyeneseknek, így \(\displaystyle \ell_A(P)=\ell_C(P)=0\), továbbá az egyenletek választása szerint \(\displaystyle \ell_A(S)=\ell_C(S)=1\). Ezért \(\displaystyle \ell_B\) a \(\displaystyle B_1PSB_2\) egyenes egy egyenlete. A betűzés ciklikus cseréjével, hasonlóan látjuk, hogy a \(\displaystyle D_1QSD_2\) egyenes egy egyenlete \(\displaystyle \ell_D=\ell_C-\ell_E\), illetve az \(\displaystyle F_1RSF_2\) egyenes egy egyenlete \(\displaystyle \ell_F=\ell_E-\ell_A\).

Most írjuk fel a \(\displaystyle k_A\), \(\displaystyle k_C\) és \(\displaystyle k_E\) körök egyenleteit. Tetszőleges \(\displaystyle c_1\) valós számra az \(\displaystyle \ell_A+c_1\cdot\varOmega\) egyenletű alakzat — ami vagy kör, vagy egyenes — átmegy az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) pontokon, mivel \(\displaystyle \ell_A\) és \(\displaystyle \varOmega\) értéke ezekben a pontokban \(\displaystyle 0\). A \(\displaystyle c_1\) számot megválaszthatjuk úgy, hogy az egyenlet a \(\displaystyle k_A\) kör egy további pontjában is teljesüljön. A \(\displaystyle k_A\) körnek tehát van egy \(\displaystyle k_A=\ell_A+c_1\cdot\varOmega\) alakú egyenlete valamilyen alkalmas \(\displaystyle c_1\) konstanssal. Hasonlóan, a \(\displaystyle k_C\) és \(\displaystyle k_E\) körök egyenletét is felírhatjuk \(\displaystyle k_C=\ell_C+c_2\cdot\varOmega\), illetve \(\displaystyle k_E=\ell_E+c_3\cdot\varOmega\) alakban, alkalmas \(\displaystyle c_2\) és \(\displaystyle c_3\) konstansokkal.

Most vizsgáljuk a \(\displaystyle B_1BB_2\) kört. Azt állítjuk, hogy ennek egyenlete \(\displaystyle k_A-k_C\). Nyilván elég ellenőrizni, hogy ez az egyenlet teljesül a \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle B_2\) és \(\displaystyle B\) pontokra. A \(\displaystyle B\) pont a \(\displaystyle k_A\) és \(\displaystyle k_C\) körök metszéspontja, így \(\displaystyle k_A(B)=k_C(B)=0\). A \(\displaystyle B_1\) pont a körülírt körön van, ezért \(\displaystyle k_A(B_1)=\ell_A(B_1)+c_1\varOmega(B_1)=\ell_A(B_1)\) és ugyanígy \(\displaystyle k_C(B_1)=\ell_C(B_1)+c_2\varOmega(B_1)=\ell_C(B_1)\), tehát \(\displaystyle k_A(B_1)-k_C(B_1)=\ell_A(B_1)-\ell_C(B_1) = \ell_B(B_1)=0\). Hasonlóan teljesül, hogy \(\displaystyle k_B(B_2)=k_A(B_2)-k_C(B_2)=0\). Ezzel igazoltuk, hogy a \(\displaystyle B_1BB_2\) kör egyenlete \(\displaystyle k_B=k_A-k_C\). A betűzés ciklikus cseréjével, ugyanígy kaphatjuk, hogy a \(\displaystyle D_1DD_2\) kör egyenlete \(\displaystyle k_D=k_C-k_E\), az \(\displaystyle F_1FF_2\) kör egyenlete \(\displaystyle k_F=k_E-k_A\).

Vegyük észre, hogy a három kör egyenletének összege \(\displaystyle 0\):

\(\displaystyle k_B + k_D + k_F = (k_A-k_C) + (k_C-k_E) + (k_E-k_A) \equiv 0. \tag{1} \)

Ha \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_D\) körívek metszéspontja \(\displaystyle M\), akkor \(\displaystyle k_B(M)=k_D(M)=0\); az (1) azonosság alapján \(\displaystyle k_F(M)=0\), vagyis a \(\displaystyle k_F\) kör is átmegy az \(\displaystyle M\) ponton. Ezzel az állítást igazoltuk az általános esetben.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Matolcsi Dávid, Németh 123 Balázs, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bukva Balázs, Egri Máté, Imolay András, Kerekes Anna.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai