 |
Az A. 685. feladat (2016. december) |
A. 685. Legyen AB és CD két húr az Ω körben. Válasszunk ki egy olyan ω kört, amely érinti az AB és CD szakaszokat az M, illetve N belső pontjaikban, és metszi az Ω kört a P és Q pontokban. Tegyük fel, hogy egy Ω-tól és ω-tól különböző harmadik kör, ω′ szintén átmegy a P és Q pontokon, és metszi az MN egyenest az M′ és N′ pontokban. Bizonyítsuk be, hogy az A, B, C, D, M′ és N′ egy olyan kúpszeleten vannak, amely érinti az ω′ kört az M′ és N′ pontokban.
Javasolta: Ilya Bogdanov és Pavel Kozhevnikov (Moszkva)
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Legyen az Ω és az ω körök, valamint az MN egyenes egy-egy (rendre másod-, másodfokú, illetve lineáris egyenlete f(x)=0, g(x)=0, illetve m(x)=0.
Az g(x)=0 és m(x)2=0 egyenletek által generált kúpszeletsor azokból a kúpszeletekből áll, amelyeknek az ω körrel kétszeres metszéspontja van az M és N pontokban; az AB és CD egyenesek uniója is ebben a sorban van, tehát az egyenlete
| g(x)+αm(x)2=0alkalmas nemnulla α∈R-rel. | (AB∪CD) |
Az Ω és ω körök által meghatározott körsor elemei az P, Q pontokon átmenő körök (beleértve a PQ egyenest is). Tehát az ω′ kör is eleme ennek a körsornak; az egyenlete
| g(x)+βf(x)=0alkalmas nemnulla β∈R-rel. | (ω′) |
Tekintsük a
| g(x)+αm(x)2+βf(x)=0 | (κ) |
egyenletű κ kúpszeletet. Ez a kúpszelet eleme az Ω kör és az AB∪CD egyenespár által meghatározott kúpszeletsornak, így átmegy az A, B, C és D pontokon. Továbbá, ez az egyenlet lineáris kombinációja az m(x)2=0 egyenletnek és ω′ egyenletének; tehát κ-nak kétszeres metszéspontja van az ω′ körrel az M′ és N′ pontokban, vagyis κ érinti az ω′ kört M′-ben és N′-ben. A κ kúpszelet létezést kellett bizonyítanunk.
A megoldás teljességéhez az is szükséges, hogy a (κ) egyenlete nem esik ki; ez következik abból, hogy az egyenlet nem teljesülhet a P és Q pontokra.
Megjegyzés. Az állításnak speciális esete a következő ismert tény: Létezik olyan kör, amely átmegy a P és Q pontokon, érinti AD és BC egyeneseket, és az érintési pontok az MN egyenesen vannak.
Statisztika:
3 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bukva Balázs, Matolcsi Dávid, Williams Kada.
A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai
|
|