 |
Az A. 685. feladat (2016. december) |
A. 685. Legyen \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) két húr az \(\displaystyle \Omega\) körben. Válasszunk ki egy olyan \(\displaystyle \omega\) kört, amely érinti az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) szakaszokat az \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\) belső pontjaikban, és metszi az \(\displaystyle \Omega\) kört a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban. Tegyük fel, hogy egy \(\displaystyle \Omega\)-tól és \(\displaystyle \omega\)-tól különböző harmadik kör, \(\displaystyle \omega'\) szintén átmegy a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokon, és metszi az \(\displaystyle MN\) egyenest az \(\displaystyle M'\) és \(\displaystyle N'\) pontokban. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle M'\) és \(\displaystyle N'\) egy olyan kúpszeleten vannak, amely érinti az \(\displaystyle \omega'\) kört az \(\displaystyle M'\) és \(\displaystyle N'\) pontokban.
Javasolta: Ilya Bogdanov és Pavel Kozhevnikov (Moszkva)
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Legyen az \(\displaystyle \Omega\) és az \(\displaystyle \omega\) körök, valamint az \(\displaystyle MN\) egyenes egy-egy (rendre másod-, másodfokú, illetve lineáris egyenlete \(\displaystyle f(x)=0\), \(\displaystyle g(x)=0\), illetve \(\displaystyle m(x)=0\).
Az \(\displaystyle g(x)=0\) és \(\displaystyle m(x)^2=0\) egyenletek által generált kúpszeletsor azokból a kúpszeletekből áll, amelyeknek az \(\displaystyle \omega\) körrel kétszeres metszéspontja van az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontokban; az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek uniója is ebben a sorban van, tehát az egyenlete
| \(\displaystyle g(x)+\alpha m(x)^2=0 \qquad \text{alkalmas nemnulla \(\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\)-rel}. \) | \(\displaystyle {(AB\cup CD)} \) |
Az \(\displaystyle \Omega\) és \(\displaystyle \omega\) körök által meghatározott körsor elemei az \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) pontokon átmenő körök (beleértve a \(\displaystyle PQ\) egyenest is). Tehát az \(\displaystyle \omega'\) kör is eleme ennek a körsornak; az egyenlete
| \(\displaystyle g(x)+\beta f(x)=0 \qquad \text{alkalmas nemnulla \(\displaystyle \beta\in\mathbb R\)-rel}. \) | \(\displaystyle {(\omega')} \) |
Tekintsük a
| \(\displaystyle g(x)+\alpha m(x)^2+\beta f(x)=0 \) | \(\displaystyle {(\kappa)} \) |
egyenletű \(\displaystyle \kappa\) kúpszeletet. Ez a kúpszelet eleme az \(\displaystyle \Omega\) kör és az \(\displaystyle AB\cup CD\) egyenespár által meghatározott kúpszeletsornak, így átmegy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokon. Továbbá, ez az egyenlet lineáris kombinációja az \(\displaystyle m(x)^2=0\) egyenletnek és \(\displaystyle \omega'\) egyenletének; tehát \(\displaystyle \kappa\)-nak kétszeres metszéspontja van az \(\displaystyle \omega'\) körrel az \(\displaystyle M'\) és \(\displaystyle N'\) pontokban, vagyis \(\displaystyle \kappa\) érinti az \(\displaystyle \omega'\) kört \(\displaystyle M'\)-ben és \(\displaystyle N'\)-ben. A \(\displaystyle \kappa\) kúpszelet létezést kellett bizonyítanunk.
A megoldás teljességéhez az is szükséges, hogy a \(\displaystyle (\kappa)\) egyenlete nem esik ki; ez következik abból, hogy az egyenlet nem teljesülhet a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokra.
Megjegyzés. Az állításnak speciális esete a következő ismert tény: Létezik olyan kör, amely átmegy a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokon, érinti \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) egyeneseket, és az érintési pontok az \(\displaystyle MN\) egyenesen vannak.
Statisztika:
3 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bukva Balázs, Matolcsi Dávid, Williams Kada.
A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai