Az A. 686. feladat (2017. január)

A. 686. Az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt köre $\displaystyle \omega$. A $\displaystyle BC$ oldalhoz hozzáírt kör a $\displaystyle BC$ egyenest az $\displaystyle A_1$ pontban érinti. Legyen $\displaystyle X$ egy tetszőlegesen felvett pont az $\displaystyle AA_1$ szakasz $\displaystyle A_1$-en túli meghosszabbításán, és messe a $\displaystyle BC$ egyenes az $\displaystyle X$-ből $\displaystyle \omega$-hoz húzott érintőket $\displaystyle Y$-ban, illetve $\displaystyle Z$-ben úgy, hogy $\displaystyle BY<BZ$. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle XY-XZ$ nem függ az $\displaystyle X$ pont helyétől.

Orosz feladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Jelöljük a $\displaystyle BC$ oldalhoz hozzáírt kört $\displaystyle \omega_A$-val, és legyen a beírt kör érintési pontja a $\displaystyle BC$ szakaszon $\displaystyle A_0$. Jelöljük $\displaystyle \omega'$-vel az $\displaystyle XZY$ háromszög beírt körét. Az $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$, valamint a $\displaystyle Z$ és $\displaystyle Y$ pontok szerepének felcserélésével az eredetivel ekvivalens állítást kapunk, így az általánosság csorbítása nélkül felehetjük, hogy $\displaystyle BA_0\le BA_1$.

Az $\displaystyle \omega$ és $\displaystyle \omega_A$ körök külső közös érintői az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ egyenesek; ezek metszéspontja, $\displaystyle A$ a két kör külső hasonlósági pontja. Ezért az $\displaystyle \omega_A$ hozzáírt kört az $\displaystyle A$ pontból az $\displaystyle \omega$ beírt körbe kicsinyíthetjük. Legyen a kicsinyítés során az $\displaystyle A_1$ pont képe a $\displaystyle T$ pont; az $\displaystyle \omega_A$ kör $\displaystyle BC$ érintője az $\displaystyle \omega$ kör $\displaystyle T$ pontban húzott érintőjébe megy át; ebből láthatjuk, hogy a beírt körhöz $\displaystyle T$-ben húzott érintő párhuzamos $\displaystyle BC$-vel, vagyis $\displaystyle A_0T$ átmérője a beírt körnek.

Hasonlóan, az $\displaystyle XY$ és $\displaystyle XZ$ egyenesek az $\displaystyle \omega$ és $\displaystyle \omega'$ körök külső közös érintői, ezért az $\displaystyle \omega$ kört az $\displaystyle X$ pontból az $\displaystyle \omega'$ körbe kicsinyíthetjük; az $\displaystyle \omega$-hoz $\displaystyle T$-ben húzott érintő képe az $\displaystyle \omega'$ kör $\displaystyle BC$ érintője, ezen belül is a $\displaystyle T$ érintési pont képe az $\displaystyle A_1$ érintési pont.

Az $\displaystyle XZY$ háromszögben $\displaystyle \omega'$ a beírt, $\displaystyle \omega$ a $\displaystyle ZY$ oldalhoz hozzáírt kör; ha az $\displaystyle XZY$ háromszög kerülete $\displaystyle s$, akkor a szokásos módon az $\displaystyle Y$ csúcsból a körökhöz húzott érintő szakaszok hossza $\displaystyle YA_1=s-XZ$, illetve $\displaystyle YA_0=s-XY$. A kettő különbségéből

$\displaystyle XY-XZ = YA_1-YA_0 = A_0A_1.$

Az $\displaystyle A_0$ és $\displaystyle A_1$ pontok, és velük együtt az $\displaystyle A_0A_1$ távolság is független az $\displaystyle X$ pont helyétől.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Döbröntei Dávid Bence, Egri Máté, Gáspár Attila, Imolay András, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Németh 123 Balázs, Váli Benedek, Williams Kada.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai