Az A. 692. feladat (2017. március)

A. 692. Léteznek-e olyan $\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ bijektív függvények, amelyekre az $\displaystyle f\big(g(x)\big)$ függvény szigorúan monoton nő, a $\displaystyle g\big(f(x)\big)$ függvény pedig szigorúan monoton csökken?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megadunk olyan $\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ bijektív függvényeket, amelyekre $\displaystyle f\big(g(x)\big)=2x$ és $\displaystyle g\big(f(x)\big)=-3x$.

Minden $\displaystyle x\ne0$ racionális szám egyértelműen felírható $\displaystyle 2^{a}(-3)^by$ alakban úgy, hogy $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ egész számok, az $\displaystyle y$ pedig olyan racionális szám, amelynek van olyan $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ közönséges tört alakú felírása, amelyben sem $\displaystyle u$, sem $\displaystyle v$ nem osztható sem $\displaystyle 2$-vel, sem $\displaystyle 3$-mal. A továbbiakban az $\displaystyle y$ mindig ilyen tulajdonságú, $\displaystyle 0$-tól különböző számot fog jelölni.

Az $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ függvényeket definiáljuk a következőképpen:

$\displaystyle f(0) = 0, \quad f\big(2^a(-3)^by\big) = 2^b (-3)^a y; \qquad g(0) = 0, \quad g\big(2^a(-3)^by\big) = 2^b (-3)^{a+1} y.$

Ezek valóban bijektívek, az inverzeik

$\displaystyle f^{-1} = f; \qquad g^{-1}(0) = 0, \quad g^{-1}\big(2^a(-3)^by\big) = 2^{b-1} (-3)^a y \quad \text{(avagy, \(\displaystyle g^{-1}=\tfrac{-g}6\)).}$

A megígért tulajdonság is teljesül, mert

$\displaystyle f\big(g(0)\big)=g\big(f(0)\big)=0,$

továbbá $\displaystyle x=2^{a}(-3)^by$ esetén

$\displaystyle f\big(g(x)\big) = f\Big(g\big(2^a(-3)^by\big)\Big) = f\big(2^b (-3)^{a+1} y\big) = 2^{a+1} (-3)^b y = 2x,$

és

$\displaystyle g\big(f(x)\big) = g\Big(f\big(2^a(-3)^by\big)\Big) = g\big(2^b (-3)^{a} y\big) = 2^a (-3)^{b+1} y = -3x.$

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Borbényi Márton, Bukva Balázs, Gáspár Attila, Matolcsi Dávid, Váli Benedek, Williams Kada.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai