Az A. 699. feladat (2017. május)

A. 699. Az \(\displaystyle \omega\) kör az \(\displaystyle \Omega\) kör belsejében helyezkedik el, közös középpontjuk az \(\displaystyle O\) pont. Adott továbbá egy \(\displaystyle O\)-tól különböző \(\displaystyle A\) pont az \(\displaystyle \omega\) belsejében. Legyen \(\displaystyle X\) egy mozgó pont az \(\displaystyle \Omega\) kerületén. Legyen az \(\displaystyle AX\) egyenes és \(\displaystyle \Omega\) második metszéspontja \(\displaystyle Y\), az \(\displaystyle AX\) szakasz és \(\displaystyle \omega\) metszéspontja \(\displaystyle Z\), és az \(\displaystyle AZ\) szakaszon legyen \(\displaystyle M\) az a pont, amelyre \(\displaystyle MX\cdot MZ\cdot AY = MA\cdot MY\cdot XZ\). Legyen \(\displaystyle x\), illetve \(\displaystyle y\) az \(\displaystyle \Omega\)-hoz \(\displaystyle X\)-ben, illetve \(\displaystyle Y\)-ban húzott érintő, és legyen \(\displaystyle t\) az az \(\displaystyle M\)-en keresztül átmenő egyenes, amely átmegy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) metszéspontján is, vagy pedig mindkettővel párhuzamos. Végül legyen \(\displaystyle T\) az \(\displaystyle OZ\) egyenes és \(\displaystyle t\) metszéspontja.

Mutassuk meg, hogy a lehetséges \(\displaystyle T\) pontok mértani helye egy ellipszis, és ennek az ellipszisnek a \(\displaystyle t\) egyenes mindig érintője.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bukva Balázs.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai