Az A. 699. feladat (2017. május)

A. 699. Az $\displaystyle \omega$ kör az $\displaystyle \Omega$ kör belsejében helyezkedik el, közös középpontjuk az $\displaystyle O$ pont. Adott továbbá egy $\displaystyle O$-tól különböző $\displaystyle A$ pont az $\displaystyle \omega$ belsejében. Legyen $\displaystyle X$ egy mozgó pont az $\displaystyle \Omega$ kerületén. Legyen az $\displaystyle AX$ egyenes és $\displaystyle \Omega$ második metszéspontja $\displaystyle Y$, az $\displaystyle AX$ szakasz és $\displaystyle \omega$ metszéspontja $\displaystyle Z$, és az $\displaystyle AZ$ szakaszon legyen $\displaystyle M$ az a pont, amelyre $\displaystyle MX\cdot MZ\cdot AY = MA\cdot MY\cdot XZ$. Legyen $\displaystyle x$, illetve $\displaystyle y$ az $\displaystyle \Omega$-hoz $\displaystyle X$-ben, illetve $\displaystyle Y$-ban húzott érintő, és legyen $\displaystyle t$ az az $\displaystyle M$-en keresztül átmenő egyenes, amely átmegy $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ metszéspontján is, vagy pedig mindkettővel párhuzamos. Végül legyen $\displaystyle T$ az $\displaystyle OZ$ egyenes és $\displaystyle t$ metszéspontja.

Mutassuk meg, hogy a lehetséges $\displaystyle T$ pontok mértani helye egy ellipszis, és ennek az ellipszisnek a $\displaystyle t$ egyenes mindig érintője.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bukva Balázs.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai