Az A. 717. feladat (2018. február)

A. 717. Egy pozitív egészt lustának nevezünk, ha nincs $\displaystyle 3$-nál nagyobb prímosztója. Mutassuk meg, hogy két szomszédos négyzetszám között legfeljebb két lusta szám lehet.

Javasolta: Gyenes Zoltán és Kós Géza (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A "lusta" számokat osszuk négy "típusba": ezek a $\displaystyle k^2$, $\displaystyle 2k^2$, $\displaystyle 3k^2$, illetve $\displaystyle 6k^2$ alakú számok.

Először azt mutatjuk meg, hogy két szomszédos négyzetszám között nem szerepelhet két azonos típusú lusta szám. Tegyük fel indirekte, hogy valamilyen $\displaystyle a,x$ egészekkel és $\displaystyle b\in\{2,3,6\}$ számokkal

$\displaystyle a^2 < bx^2 < b(x+1)^2 <(a+1)^2.$

Ekkor $\displaystyle \frac{b(x+1)^2}{bx^2} < \frac{(a+1)^2}{a^2}$, átrendezve $\displaystyle x>a$; ez viszont ellentmond annak, hogy $\displaystyle (x+1)^2<(a+1)^2$.

Most tehát tegyük fel, hogy — a feladat állításával szemben — valamilyen $\displaystyle a$ pozitív egésszel három lusta szám is szerepel $\displaystyle a^2$ és $\displaystyle (a+1)^2$ között; mint láttuk, ez csak úgy lehet, ha egy-egy $\displaystyle 2k^2$, $\displaystyle 3k^2$, illetve $\displaystyle 6k^2$ típusú számunk van:

$\displaystyle a^2 < \quad 2^{p_1}3^{q_1}, \quad 2^{p_2}3^{q_2}, \quad 2^{p_3}3^{q_3} \quad < (a+1)^2.$

A három lusta szám között egy-egy $\displaystyle 2k^2$, $\displaystyle 3k^2$, illetve $\displaystyle 6k^2$ típusú van; emiatt $\displaystyle p_1,p_2,p_3$ közül és $\displaystyle q_1,q_2,q_3$ közül is pontosan az egyik páros, a másik kettő páratlan.

Feltételezzük, hogy $\displaystyle a\ge3$ (a kis $\displaystyle a$ értékeket majd a megoldás végén ellenőrizzük). Ekkor $\displaystyle (a+1)^2<2a^2$, így az $\displaystyle [a^2,(a+1)^2]$ intervallumban semelyik egész nem oszthatja semelyik másik egészt sem. Ebből következik, hogy az $\displaystyle 2^{p_1}3^{q_1}$, $\displaystyle 2^{p_2}3^{q_2}$ és $\displaystyle 2^{p_3}3^{q_3}$ számok sem lehetnek egymás osztói. Emiatt a $\displaystyle p_1,p_2,p_3$ páronként különbözők, és a $\displaystyle (q_1,q_2,q_3)$ sorozat ellentétesen rendezett, mint a $\displaystyle (p_1,p_2,p_3)$ sorozat; az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy $\displaystyle p_1<p_2<p_3$ és $\displaystyle q_1>q_2>q_3$.

Vizsgáljuk most az

$\displaystyle w = \frac{2^{p_1}3^{q_1} \cdot 2^{p_3}3^{q_3}}{2^{p_2}3^{q_2}} = 2^{p_1-p_2+p_3}\cdot 3^{q_1-q_2+q_3}$

számot. A jobbalon mindkét kitevő pozitív: $\displaystyle p_1-p_2+p_3>p_3-p_2>0$ és $\displaystyle q_1-q_2+q_3>q_1-q_2>0$, továbbá, $\displaystyle p_1,p_2,p_3$ és $\displaystyle q_1,q_2,q_3$ között is pontosan az egyik páros, tehát $\displaystyle p_1-p_2+p_3$ és $\displaystyle q_1-q_2+q_3$ is páros. A $\displaystyle w$ egy lusta négyzetszám.

A $\displaystyle w$ számra

$\displaystyle w > \frac{(a^2)^2}{(a+1)^2} > (a-1)^2, \quad\text{és}\quad w < \frac{((a+1)^2-1)^2}{a^2} = (a+2)^2,$

ezért a $\displaystyle w$ négyzetszám értéke csak $\displaystyle a^2$ vagy $\displaystyle (a+1)^2$ lehet. Bármelyik is következzen be, most már mind a négy típusú lusta szám előfordul az $\displaystyle [a^2,(a+1)^2]$ intervallumban. Újra definiálva és rendezve a kitevőket, a négy lusta szám legyen

$\displaystyle a^2 \le \quad 2^{u_1}3^{v_1}, \quad 2^{u_2}3^{v_2}, \quad 2^{u_3}3^{v_3}, \quad 2^{u_4}3^{v_4} \quad \le (a+1)^2,$

ahol $\displaystyle u_1<u_2<u_3<u_4$ és $\displaystyle v_1>v_2>v_3>v_4$.

A lusta párok legnagyobb közös osztóira

$\displaystyle 2^{u_1}3^{v_2} = \mathrm{gcd}\big(2^{u_1}3^{v_1},2^{u_2}3^{v_2}\big) \le \big|2^{u_1}3^{v_1}-2^{u_2}3^{v_2}\big| \le 2a,$

$\displaystyle 2^{u_2}3^{v_3} = \mathrm{gcd}\big(2^{u_2}3^{v_2},2^{u_3}3^{v_3}\big) \le \big|2^{u_2}3^{v_2}-2^{u_3}3^{v_3}\big| \le 2a,$

$\displaystyle 2^{u_3}3^{v_4} = \mathrm{gcd}\big(2^{u_3}3^{v_3},2^{u_4}3^{v_4}\big) \le \big|2^{u_3}3^{v_3}-2^{u_4}3^{v_4}\big| \le 2a,$

(egyenlőség legfeljebb csak az egyik egyenlőtlenségben lehet), összeszorozva

$\displaystyle a^4 \le (2^{u_2}3^{v_2})\cdot(2^{u_3}3^{v_3}) \le 2^{u_1}3^{v_2}\cdot 2^{u_2}3^{v_3}\cdot 2^{u_3}3^{v_4} < (2a)^3$

$\displaystyle a<8.$

Ezzel igazoltuk az állítást $\displaystyle a\ge8$ esetén.

Az $\displaystyle a=1,2,\ldots,7$ esetekben a következő lusta számok fordulnak elő $\displaystyle a^2$ és $\displaystyle (a+1)^2$ között:

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gáspár Attila, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Schrettner Jakab.
4 pontot kapott:	Beke Csongor, Bukva Balázs, Matolcsi Dávid.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai