Az A. 738. feladat (2018. december)

A. 738. (A decemberben kitűzött feladatunk hibás volt. Új feladatot tűzünk ki helyette, amely a januári feladatokkal együtt küldhető be.)

Tekintsük a következő számsorozatot: $\displaystyle a_1=1$, $\displaystyle a_2=2$, $\displaystyle a_3=3$, illetve

$\displaystyle a_{n+3}=\frac{a_{n+1}^2+a_{n+2}^2-2}{a_n}$

minden $\displaystyle n\ge 1$ egészre. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat minden tagja pozitív egész szám.

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet. Alaposabban szemügyre véve a rekurziót megadó képletet, eszünkbe juthat egy olyan sorozatgenerálási mód, ami a Viete-formulák egy másodfokú egyenletre való ismételt alkalmazására épül (vö. A.567.). Ha ugyanis $\displaystyle xx'=u^2+v^2-2$, akkor $\displaystyle x$ és $\displaystyle x'$ is megoldásai az

$\displaystyle X^2-cX+(u^2+v^2-2)=0$

egyenletnek alkalmas $\displaystyle c$-re. Szimmetria végett valamilyen rögzített $\displaystyle k$ pozitív egész mellett az alábbi egyenletet fogjuk tekinteni:

Megoldás. Megadunk egy olyan $\displaystyle b_1,b_2,b_3,\ldots$ sorozatot, melyre $\displaystyle (b_1,b_2,b_3)=(1,2,3)$, majd minden $\displaystyle n$-re $\displaystyle (b_n,b_{n+1},b_{n+2})$ megoldása $\displaystyle (*)$-nak. (Az $\displaystyle n=1$ eset miatt $\displaystyle k=2$-re lesz szükség: $\displaystyle 1+4+9-2\cdot 6-2=0$.)

Ha adott a $\displaystyle (*)$-ot teljesítő $\displaystyle (b_n,b_{n+1},b_{n+2})$ hármas, akkor definiáljuk $\displaystyle b_{n+3}$-at úgy, hogy $\displaystyle b_n$ és $\displaystyle b_{n+3}$ legyen a két gyöke az

másodfokú egyenletnek. Már tudjuk ugyanis, hogy $\displaystyle b_n$ gyök, s ekkor a bal oldal $\displaystyle (X-b_n)(X-t)$ módon szorzattá bomlik valamilyen $\displaystyle t$ valós számra: legyen $\displaystyle b_{n+3}=t$. Ez esetben $\displaystyle (b_{n+1},b_{n+2},b_{n+3})$ is megoldása $\displaystyle (*)$-nak.

$\displaystyle$

Állítás. Minden $\displaystyle n\ge 1$-re: (i) $\displaystyle b_n$ egész szám, (ii) $\displaystyle 1\le b_n<b_{n+1}<b_{n+2}$, (iii) $\displaystyle (a_n,a_{n+1},a_{n+2})=(b_n,b_{n+1},b_{n+2})$. (Feltételezzük, hogy az $\displaystyle (a_n)$ sorozat létezik, ami az esetleges nullával való osztás miatt nem egyértelmű.)

Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítunk. Az $\displaystyle n=1$ eset teljesül; tegyük fel, hogy $\displaystyle n$-re igaz, és lássuk be $\displaystyle n+1$-re. A Viete-formulákat az $\displaystyle (1)$ másodfokú egyenletre felírva:

$\displaystyle b_n+b_{n+3}=(kb_{n+1}b_{n+2}),\qquad b_nb_{n+3}=(b_{n+1}^2+b_{n+2}^2-2).$

Előbbi képlet szerint $\displaystyle b_{n+3}$ egész szám lesz, így (i)-t igazoltuk. Utóbbi képletben a jobb oldal nagyobb, mint $\displaystyle 2^2+b_nb_{n+2}-2$, ahonnan $\displaystyle b_{n+3}>b_{n+2}$, így (ii)-t igazoltuk. Az utóbbi képletből pedig $\displaystyle b_{n+3}=\frac{b_{n+1}^2+b_{n+2}^2-2}{b_n}$, így következik, hogy $\displaystyle b_{n+3}=a_{n+3}$, ami (iii)-t igazolja. $\displaystyle \blacksquare$

$\displaystyle$

Mivel $\displaystyle a_n=b_n$ minden $\displaystyle n$-re pozitív egész, ezért készen vagyunk.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Füredi Erik Benjámin, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Milan Haiman, Osztényi József, Pooya Esmaeil Akhoondy, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Weisz Máté.
6 pontot kapott:	Csaplár Viktor, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai