Az A. 742. feladat (2019. január)

A. 742. Az $\displaystyle \Omega$ körbe írt $\displaystyle ABCD$ konvex húrnégyszög $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BC$ oldalegyenesei az $\displaystyle E$ pontban metszik egymást. Legyen $\displaystyle M$ és $\displaystyle N$ a többi csúcsot nem tartalmazó $\displaystyle AB$, illetve $\displaystyle CD$ körívek felezőpontja, továbbá legyen $\displaystyle I$, $\displaystyle J$, $\displaystyle K$, és $\displaystyle L$ rendre az $\displaystyle ABD$, a $\displaystyle ABC$, a $\displaystyle BCD$, illetve a $\displaystyle CDA$ háromszögbe írt kör középpontja. Messe $\displaystyle \Omega$ az $\displaystyle IJM$ és $\displaystyle KLN$ köröket másodszor az $\displaystyle U\ne M$, illetve a $\displaystyle V\ne N$ pontban. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle E$, $\displaystyle U$ és $\displaystyle V$ pontok egy egyenesre illeszkednek.

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A feladat szorosan kapcsolódik az A505 feladat megoldásához: Az A.505. betűzésével $\displaystyle PT\cdot PG=PA\cdot PB=PO_1\cdot PO_2$, emiatt az $\displaystyle O_1,O_2,T,G$ egy körön vannak.

Legyen $\displaystyle \omega_1$ és $\displaystyle \omega_2$ az a két kör az $\displaystyle ABCD$ négyszög belsejében, amely érinti az $\displaystyle AD$ és a $\displaystyle BC$ oldalakat, valamint a körülírt kör $\displaystyle AMB$, illetve $\displaystyle CND$ ívét. A fenti, az A.505. megoldásából leolvasott eremény szerint a két érintési pont $\displaystyle U$, illetve $\displaystyle V$.

Az $\displaystyle \Omega$, $\displaystyle \omega_1$ és $\displaystyle \omega_2$ körök páronként vett külső hasonlósági pontja $\displaystyle E$, $\displaystyle U$ és $\displaystyle V$; ezek a Monge-tétel szerint egy egyenesre esnek.

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Schrettner Jakab, Shuborno Das.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai