Az A. 750. feladat (2019. április)

A. 750. Legyen $\displaystyle k_1,\ldots,k_5$ öt kör a síkban úgy, hogy $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ kívülről érintik egymást a $\displaystyle T$ pontban, $\displaystyle k_3$ és $\displaystyle k_4$ kívülről érinti a $\displaystyle k_1$-et és a $\displaystyle k_2$-t is, $\displaystyle k_5$ az $\displaystyle U$, illetve a $\displaystyle V$ pontban kívülről érinti $\displaystyle k_3$-at, illetve $\displaystyle k_4$-et, továbbá $\displaystyle k_5$ a $\displaystyle P$ és a $\displaystyle Q$ pontban metszi $\displaystyle k_1$-et az ábra szerint.

Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle \frac{PU\cdot PV}{QU\cdot QV} = \frac{PT^2}{QT^2}.$

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az inverzió egyik tipikus alkalmazási módja, hogy köröket egyenesekké transzformálunk, egyszerűsítve az ábrát. Jelen esetben a $\displaystyle T$ pont körül érdemes inverziót végezni, mondjuk $\displaystyle h$ hatvánnyal (vagyis: irányított szakaszokkal $\displaystyle TX\cdot TX'=h$).

A $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ körök képei egyenesek, amik nem metszőek, így párhuzamosak. A $\displaystyle k_3'$ és $\displaystyle k_4'$ körök érintik $\displaystyle k_1'$ és $\displaystyle k_2'$ egyeneseket, így középpontjaik egyenlő távol esnek a két egyenestől s ezzel sugaruk egyenlő. A $\displaystyle k_5'$ kör érinti $\displaystyle k_3',k_4'$ kört $\displaystyle U',V'$ pontban és metszi $\displaystyle k_2'$ egyenest $\displaystyle P',Q'$-ben. Az érintés miatt ha $\displaystyle O_3,O_4,O_5$ jelöli $\displaystyle k_3',k_4',k_5'$ középpontjait, $\displaystyle O_5O_3=O_5O_4$, vagyis $\displaystyle k_5'$ szimmetrikus $\displaystyle \overline{O_3O_4}$ felezőmerőlegesére nézve. Mivel $\displaystyle O_3O_4$ eközben $\displaystyle k_1',k_2'$ középpárhuzamosa, a felezőmerőlegesre $\displaystyle k_2'$ is szimmetrikus, illetve az egyező sugarak miatt $\displaystyle k_3',k_4'$ egymás tükörképe rá nézve. Így $\displaystyle P',Q'$ és $\displaystyle U',V'$ tükörképek!

A szakaszhosszak közötti kapcsolatot egy képlettel teremtjük meg. Ha $\displaystyle X,Y$ képe az inverzióban $\displaystyle X',Y'$, akkor $\displaystyle TX\cdot TX'=h=TY\cdot TY'$ miatt $\displaystyle TXY\sim TY'X'$ (közös a $\displaystyle T$-nél lévő szög és $\displaystyle \frac{|TX|}{|TY'|}=\frac{|TY|}{|TX'|}$), s így

$\displaystyle \frac{|XY|}{|Y'X'|}=\frac{|TX|}{|TY'|},\qquad |XY|=|X'Y'|\cdot \frac{|TX|\cdot |TY|}{|h|}.$

Behelyettesítve a bizonyítandó azonosságba:

$\displaystyle \frac{|PU|\cdot |PV|}{|QU|\cdot |QV|}=\frac{|PT|^2}{|QT|^2},$

$\displaystyle \frac{|P'U'|\cdot \frac{|TP|\cdot |TU|}{|h|}\cdot |P'V'|\cdot \frac{|TP|\cdot |TV|}{|h|}}{|Q'U'|\cdot \frac{|TQ|\cdot |TU|}{|h|}\cdot |Q'V'|\cdot \frac{|TQ|\cdot |TV|}{|h|}}=\frac{|TP|^2}{|TQ|^2}$

$\displaystyle \frac{|P'U'|\cdot |P'V'|}{|Q'U'|\cdot |Q'V'|}=1$

A kapott azonosság $\displaystyle P'U'=Q'V'$ és $\displaystyle P'V'=Q'U'$ miatt igaz (a szakaszok ugyanis tükrösek).

Megjegyzés. A bizonyítandó képlet ekvivalens azzal, hogy a $\displaystyle T$-ben húzott közös érintő, $\displaystyle PQ$, és $\displaystyle UV$ egy pontban metszenek.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Pooya Esmaeil Akhoondy, Schrettner Jakab, Shuborno Das.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai