Az A. 752. feladat (2019. május)

A. 752. Legyenek $\displaystyle k$, $\displaystyle s$ és $\displaystyle n$ pozitív egész számok úgy, hogy $\displaystyle s<(2k+1)^2$, és legyen $\displaystyle R$ a sík azon $\displaystyle (x,y)$ rácspontjainak halmaza, amelyre $\displaystyle 1\le x,y\le n$. Az $\displaystyle R$ pontrácson a következő eljárást végezzük el. Kezdetben $\displaystyle R$ egy pontját zöldre, a többi pontját fehérre színezzük. Ezután minden lépésben kiválasztunk egy $\displaystyle {\color{red}(2k+1)\times(2k+1)}$ rácspontból álló $\displaystyle S$ négyzetet, amelynek középpontja zöld, és legalább $\displaystyle s$ fehér pontot tartalmaz, majd az $\displaystyle S$-beli fehér pontok közül valamelyik $\displaystyle s$ pont színét zöldre változtatjuk. Ezt a lépést addig ismételgetjük, amíg csak található megfelelő $\displaystyle S$ négyzet.

Azt mondjuk, hogy az $\displaystyle s$ szám $\displaystyle k$-ritka, ha létezik olyan $\displaystyle C$ pozitív valós szám, hogy bármely $\displaystyle n$, bármely kiinduló zöld pont, és a fenti lépések bármely szabályos sorozata után a zöld pontok száma nem lehet nagyobb, mint $\displaystyle Cn$.

Fejezzük ki a legkisebb $\displaystyle k$-ritka egész $\displaystyle s$ számot $\displaystyle k$ függvényében.

Javasolta: Nikolai Beluhov (Sztara Zagora, Bulgária)

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Schrettner Jakab.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai