Az A. 757. feladat (2019. szeptember)

A. 757. Ha $\displaystyle n$ nemnegatív egész szám, jelölje $\displaystyle H(n)$ a pozitív egész számoknak azon részhalmazát, amelynek $\displaystyle i$ pontosan akkor eleme, ha az $\displaystyle n$ kettes számrendszerbeli alakjában a hátulról $\displaystyle i$. jegy 1-es.

Két játékos, $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ a következő játékot játssza: először $\displaystyle A$ választ egy $\displaystyle k$ pozitív egész számot, ezután $\displaystyle B$ választ egy pozitív egész $\displaystyle n$ számot, melyre $\displaystyle 2^n\ge k$. Legyen $\displaystyle X$ a $\displaystyle \{0,1,\ldots,2^n-1\}$ halmaz, $\displaystyle Y$ pedig a $\displaystyle \{0,1,\ldots,2^{n+1}-1\}$ halmaz. A $\displaystyle k$ körből álló játékot $\displaystyle A$ kezdi, és egy körben $\displaystyle A$ választ egy számot az $\displaystyle X$ vagy az $\displaystyle Y$ halmazból, majd $\displaystyle B$ választ egy számot a másik halmazból. $\displaystyle 1\le i \le k$ esetén jelölje $\displaystyle x_i$ az $\displaystyle i$ körben az $\displaystyle X$ halmazból választott számot, $\displaystyle y_i$ pedig jelölje az $\displaystyle i$. körben az $\displaystyle Y$ halmazból választott számot.

A játékot akkor nyeri meg $\displaystyle B$, ha minden $\displaystyle 1\le i\le k$ és $\displaystyle 1\le j\le k$ esetén teljesül, hogy $\displaystyle x_i<x_j$ pontosan akkor, ha $\displaystyle y_i<y_j$, továbbá $\displaystyle H(x_i)\subset H(x_j)$ pontosan akkor, ha $\displaystyle H(y_i)\subset H(y_j)$, egyébként $\displaystyle A$ nyer.

Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?

Javasolta: Bodnár Levente (Cambridge)

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Statisztika:

1 dolgozat érkezett.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai