Az A. 757. feladat (2019. szeptember)

A. 757. Ha \(\displaystyle n\) nemnegatív egész szám, jelölje \(\displaystyle H(n)\) a pozitív egész számoknak azon részhalmazát, amelynek \(\displaystyle i\) pontosan akkor eleme, ha az \(\displaystyle n\) kettes számrendszerbeli alakjában a hátulról \(\displaystyle i\). jegy 1-es.

Két játékos, \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) a következő játékot játssza: először \(\displaystyle A\) választ egy \(\displaystyle k\) pozitív egész számot, ezután \(\displaystyle B\) választ egy pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, melyre \(\displaystyle 2^n\ge k\). Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle \{0,1,\ldots,2^n-1\}\) halmaz, \(\displaystyle Y\) pedig a \(\displaystyle \{0,1,\ldots,2^{n+1}-1\}\) halmaz. A \(\displaystyle k\) körből álló játékot \(\displaystyle A\) kezdi, és egy körben \(\displaystyle A\) választ egy számot az \(\displaystyle X\) vagy az \(\displaystyle Y\) halmazból, majd \(\displaystyle B\) választ egy számot a másik halmazból. \(\displaystyle 1\le i \le k\) esetén jelölje \(\displaystyle x_i\) az \(\displaystyle i\) körben az \(\displaystyle X\) halmazból választott számot, \(\displaystyle y_i\) pedig jelölje az \(\displaystyle i\). körben az \(\displaystyle Y\) halmazból választott számot.

A játékot akkor nyeri meg \(\displaystyle B\), ha minden \(\displaystyle 1\le i\le k\) és \(\displaystyle 1\le j\le k\) esetén teljesül, hogy \(\displaystyle x_i<x_j\) pontosan akkor, ha \(\displaystyle y_i<y_j\), továbbá \(\displaystyle H(x_i)\subset H(x_j)\) pontosan akkor, ha \(\displaystyle H(y_i)\subset H(y_j)\), egyébként \(\displaystyle A\) nyer.

Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?

Javasolta: Bodnár Levente (Cambridge)

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Statisztika:

1 dolgozat érkezett.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai