Az A. 778. feladat (2020. május)

A. 778. Keressük meg az összes olyan $\displaystyle d$ négyzetmentes pozitív egész számot, melyre megoldható az $\displaystyle x^2+dy^2 = 2^n$ egyenlet a pozitív egész számok körében.

Javasolta: Williams Kada (Cambridge)

(7 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.

Válasz. $\displaystyle d=1$, $\displaystyle d=3$, és minden négyzetmentes $\displaystyle d\equiv 7\pmod{8}$ esetén van megoldás.

Megoldás. Néhány eset hamar kizárható.

Ha $\displaystyle d\equiv1,2\pmod{4}$, akkor osszunk le $\displaystyle 2$-vel addig, míg $\displaystyle x,y$ egyike páratlan nem lesz. Ekkor $\displaystyle x^2+dy^2=2^n$ bal oldala $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, vagy $\displaystyle 3$ lesz modulo $\displaystyle 4$, így $\displaystyle n\ge 2$ kizárt. Egy megoldást kapunk: $\displaystyle n=1$, $\displaystyle d=1$, $\displaystyle x=y=1$.

Ha $\displaystyle d\equiv 3\pmod{8}$, akkor ugyanígy feltehető, hogy $\displaystyle x,y$ egyike páratlan. Most $\displaystyle x^2+dy^2=2^n$ bal oldala $\displaystyle 1$, $\displaystyle 3$, vagy $\displaystyle 4$ lesz modulo $\displaystyle 8$, és $\displaystyle n\ge 3$ zárható ki. Egy megoldást kapunk: $\displaystyle n=2$, $\displaystyle d=3$, $\displaystyle x=y=1$.

Marad $\displaystyle d\equiv 7\pmod{8}$ esete. Elemi okfejtést nem ismerünk erre az esetre.

Bebizonyítjuk, hogy létezik megoldás az egyenletre minden $\displaystyle d\equiv 7\pmod{8}$ mellett.

Vizsgáljuk az egyenletet a $\displaystyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ testben! Mint egy Pell-egyenletben, a bal oldal szorzattá bomlik:

$\displaystyle (x+y\sqrt{-d})(x-y\sqrt{-d})=2^n$

Ismeretes, hogy a $\displaystyle K$ testben lévő algebrai egészek gyűrűje $\displaystyle d\equiv 3\pmod{4}$ esetén $\displaystyle \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right]$. Ez általánosítása annak, hogy a $\displaystyle \mathbb{Q}$ testben lévő algebrai egészek gyűrűje $\displaystyle \mathbb{Z}$, és reménykedhetünk benne, hogy ily módon $\displaystyle \mathcal{O}_K$-ban fennáll a számelmélet alaptétele. Ha fennállna, meghatároznánk $\displaystyle 2^n$ lehetséges szorzattá bontásait, és megoldanánk az egyenletet. Azonban a számelmélet alaptétele csak kivételes esetekben lesz érvényes.

Vizsgáljuk ehelyett $\displaystyle \mathcal{O}_K$ nemnulla ideáljait! Ismert ugyanis, hogy bármilyen $\displaystyle K$ számtestre fennáll, hogy a nemnulla ideálok egyértelműen felbonthatók prím ideálok szorzatára.

Olyan $\displaystyle \alpha\in\mathcal{O}_K\setminus \mathbb{Z}$ elemet keresünk, melyre $\displaystyle N(\alpha)$ kettőhatvány. (Ekkor az egyenlet egy megoldása $\displaystyle 2\alpha=x+y\sqrt{-d}$ választással nyerhető ki, ahol $\displaystyle \alpha\notin\mathbb{Z}$ garantálja, hogy $\displaystyle y\neq 0$.)

Legyen $\displaystyle \theta=\frac{1+\sqrt{-d}}{2}$, melyre $\displaystyle \theta^2-\theta+\frac{d+1}{4}=0$. Az ún. Dedekind-kritériumból következik a $\displaystyle (2)$ prímideál-felbontása:

$\displaystyle (2)=(2,\theta)(2,\theta+1).$

Mivel az ideálosztály-csoport véges, ezért $\displaystyle (2,\theta)^n$ főideál lesz valamilyen $\displaystyle n$-re és $\displaystyle \alpha\in\mathcal{O}_K$-ra, vagyis $\displaystyle (\alpha)$ alakú. Az ideálnorma multiplikatív lévén $\displaystyle N(2,\theta)=2$ és $\displaystyle N(\alpha)=N\big((\alpha)\big)=2^n$. Továbbá ha $\displaystyle \alpha\in\mathbb{Z}$, akkor $\displaystyle \alpha=\pm 2^{n/2}$, így $\displaystyle (2,\theta)^n=(2)^{n/2}=(2,\theta)^{n/2}(2,\theta+1)^{n/2}$ adódik. Ez ellentmond az ideálok körében fennálló számelmélet alaptételének, mert $\displaystyle (2,\theta)\neq (2,\theta+1)$ (ha egyenlő lenne a két ideál, akkor $\displaystyle (\theta+1)-\theta=1$ s így maga $\displaystyle (1)$ is benne lenne). Tehát $\displaystyle \alpha\notin\mathbb{Z}$, készen vagyunk.

Megjegyzés. Speciálisan $\displaystyle d=7$ esete kapcsolódik egy korábbi Kömal-feladathoz: B.4550. feladat.

Statisztika:

4 dolgozat érkezett.
2 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai