 |
Az A. 788. feladat (2020. november) |
A. 788. Oldjuk meg az
x+1x3=2y,y+1y3=2z,z+1z3=2w,w+1w3=2x
egyenletrendszert.
(7 pont)
A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenletrendszernek triviális megoldása az x=y=z=w=±1. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs. Ha x negatív, akkor y, z és w is negatív; végigszorozva (−1)-gyel csupa pozitív számokból álló megoldást kapunk, így elég azt igazolni, hogy az egyetlen csupa pozitív megoldás az x=y=z=w=1.
Az egyenletekből világos, hogy x,y,z,w>12.
Kalapból nyuszi: Legyen
f(t)=|t−1ty−1|.
Azt állítjuk, hogy
| f(y)≤f(x), | (1) |
és egyenlőség csak x=y=1 esetén lehet. Az egyenlőtlenség ciklikusan igaz: f(x)≥f(y)≥f(z)≥f(w)≥f(x), tehát mindenhol egyenlőség kell legyen, vagyis x=y=z=w=1.
Ha x=1, akkor y=x+1/x32=1, és (1)-ben egyenlőség áll.
Tegyük fel, hogy x≠1. Az (1) két oldalának hányadosa
f(y)f(x)=|y−13y−1⋅3x−1x−1|=|x4+12x3−13x4+12x3−1⋅3x−1x−1|=|(x4−2x3+1)(3x−1)(3x4−2x3+3)(x−1)|=
=|(x−1)(x3−x2−x−1)(3x−1)(3x4−2x3+3)(x−1)|=|3x4−4x3−2x2−2x+13x4−2x3+3|.
Az utolsó abszolút értékben álló szám egyrészt
3x4−4x3−2x2−2x+13x4−2x3+3=1−2x3+2x2+2x+23x4−2x3+3<1,
másrészt
3x4−4x3−2x2−2x+13x4−2x3+3=−1+6x4−6x3−2x2−2x+43x4−2x3+3=−1+(x−1)2(6x2+6x+4)3x4−2x3+3>−1.
Statisztika:
16 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Fleiner Zsigmond, Kovács 129 Tamás, Sztranyák Gabriella, Török Ágoston. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai
|
|