Az A. 791. feladat (2021. január)

A. 791. Adva van egy villanykörte, amely piros, zöld vagy kék színnel tud világítani, és háromállású kapcsolók egy végtelen \(\displaystyle H\) halmaza, ahol mindegyik kapcsolónál meg van jelölve a három állás a piros, kék és zöld színekkel. A következőket tudjuk még:

\(\displaystyle i)\) Mindegyik kapcsolóállásnál egyértelműen meghatározott színnel világít a villanykörte.

\(\displaystyle ii)\) Ha mindegyik kapcsoló ugyanarra az adott színre van állítva, a villanykörte is az adott színnel világít.

\(\displaystyle iii)\) Ha két kapcsolóállásnál mindegyik kapcsolóra igaz, hogy különböző állásban van, akkor a két állásnál a villanykörte más színnel világít.

Készítsük el a \(\displaystyle H\) bizonyos részhalmazaiból álló \(\displaystyle U\) halmazt a következő módon: minden kapcsolóállásnál nézzük meg a villanykörte színét, és tegyük bele az \(\displaystyle U\) halmazba azon kapcsolók halmazát, melyek állása megegyezik a villanykörte színével.

Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle U\) ultraszűrőt alkot \(\displaystyle H\)-n.

(\(\displaystyle U\) ultraszűrő \(\displaystyle H\)-n, ha teljesíti a következőket:

\(\displaystyle a)\) Az üres halmaz nincs benne \(\displaystyle U\)-ban.

\(\displaystyle b)\) Ha két halmaz benne van \(\displaystyle U\)-ban, a metszetük is benne van \(\displaystyle U\)-ban.

\(\displaystyle c)\) Ha egy halmaz benne van \(\displaystyle U\)-ban, minden nála bővebb \(\displaystyle H\)-beli részhalmaz is benne van \(\displaystyle U\)-ban.

\(\displaystyle d)\) Egy halmaz és \(\displaystyle H\)-beli komplementere közül pontosan az egyik van \(\displaystyle U\)-ban.)

Lásd még az N.\(\displaystyle \;\)35. feladatot az 1994-es évfolyam májusi számából. (Feladat és megoldás.)

(7 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Kovács 129 Tamás, Seres-Szabó Márton, Varga Boldizsár.
6 pontot kapott:	Sztranyák Gabriella.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai