Az A. 791. feladat (2021. január)

A. 791. Adva van egy villanykörte, amely piros, zöld vagy kék színnel tud világítani, és háromállású kapcsolók egy végtelen $\displaystyle H$ halmaza, ahol mindegyik kapcsolónál meg van jelölve a három állás a piros, kék és zöld színekkel. A következőket tudjuk még:

$\displaystyle i)$ Mindegyik kapcsolóállásnál egyértelműen meghatározott színnel világít a villanykörte.

$\displaystyle ii)$ Ha mindegyik kapcsoló ugyanarra az adott színre van állítva, a villanykörte is az adott színnel világít.

$\displaystyle iii)$ Ha két kapcsolóállásnál mindegyik kapcsolóra igaz, hogy különböző állásban van, akkor a két állásnál a villanykörte más színnel világít.

Készítsük el a $\displaystyle H$ bizonyos részhalmazaiból álló $\displaystyle U$ halmazt a következő módon: minden kapcsolóállásnál nézzük meg a villanykörte színét, és tegyük bele az $\displaystyle U$ halmazba azon kapcsolók halmazát, melyek állása megegyezik a villanykörte színével.

Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle U$ ultraszűrőt alkot $\displaystyle H$-n.

($\displaystyle U$ ultraszűrő $\displaystyle H$-n, ha teljesíti a következőket:

$\displaystyle a)$ Az üres halmaz nincs benne $\displaystyle U$-ban.

$\displaystyle b)$ Ha két halmaz benne van $\displaystyle U$-ban, a metszetük is benne van $\displaystyle U$-ban.

$\displaystyle c)$ Ha egy halmaz benne van $\displaystyle U$-ban, minden nála bővebb $\displaystyle H$-beli részhalmaz is benne van $\displaystyle U$-ban.

$\displaystyle d)$ Egy halmaz és $\displaystyle H$-beli komplementere közül pontosan az egyik van $\displaystyle U$-ban.)

Lásd még az N.$\displaystyle \;$35. feladatot az 1994-es évfolyam májusi számából. (Feladat és megoldás.)

(7 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Kovács 129 Tamás, Seres-Szabó Márton, Varga Boldizsár.
6 pontot kapott:	Sztranyák Gabriella.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai