Az A. 797. feladat (2021. április)

A. 797. Egy üres halmazt nem tartalmazó \(\displaystyle H\) halmazrendszer szövevényes, hogy ha minden \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) \(\displaystyle \,\) \(\displaystyle H\)-beli diszjunkt halmazpárra létezik \(\displaystyle b\in B\), hogy \(\displaystyle A\cup \{b\}\) is \(\displaystyle H\)-ban van vagy létezik \(\displaystyle a\in A\), hogy \(\displaystyle B \cup \{a\}\) is \(\displaystyle H\)-ban van.

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\) egyelemű halmaz, \(\displaystyle \{1\}, \{2\},\dots, \{n\}\), mind a szövevényes \(\displaystyle H\) halmazrendszerben van. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle n>k(k+1)/2\), akkor van \(\displaystyle H\)-ban egy legalább \(\displaystyle k+1\) elemű halmaz, és ez minden \(\displaystyle k\)-ra éles, azaz ha \(\displaystyle n=k(k+1)/2\), akkor még lehet minden \(\displaystyle H\)-beli halmaz legfeljebb \(\displaystyle k\) elemű.

(7 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Füredi Erik Benjámin, Sztranyák Gabriella.
6 pontot kapott:	Török Ágoston.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai