Az A. 798. feladat (2021. április)

A. 798. Legyen $\displaystyle 0<p<1$ adott. Kezdetben van $\displaystyle n$ darab pénzérménk, melyeket feldobva mindegyik eredménye $\displaystyle p$ eséllyel fej, $\displaystyle 1-p$ eséllyel írás (a dobások eredménye egymástól független). Egy körben feldobjuk a pénzérméket, és kivesszük azokat, melyeknél az eredmény fej. Ezt addig ismételjük, amíg az összes érme el nem fogy. Jelölje $\displaystyle k_n$ az ehhez szükséges körök számának várható értékét. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $\displaystyle c>0$ szám, mellyel minden $\displaystyle n$ pozitív egész esetén teljesül, hogy

$\displaystyle c\left(1+\frac12+\ldots+\frac1{n}\right)<k_n<1+c\left(1+\frac12+\ldots+\frac1{n}\right).$

(7 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.

Statisztika:

1 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai