Az A. 798. feladat (2021. április)

A. 798. Legyen \(\displaystyle 0<p<1\) adott. Kezdetben van \(\displaystyle n\) darab pénzérménk, melyeket feldobva mindegyik eredménye \(\displaystyle p\) eséllyel fej, \(\displaystyle 1-p\) eséllyel írás (a dobások eredménye egymástól független). Egy körben feldobjuk a pénzérméket, és kivesszük azokat, melyeknél az eredmény fej. Ezt addig ismételjük, amíg az összes érme el nem fogy. Jelölje \(\displaystyle k_n\) az ehhez szükséges körök számának várható értékét. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan \(\displaystyle c>0\) szám, mellyel minden \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén teljesül, hogy

\(\displaystyle c\left(1+\frac12+\ldots+\frac1{n}\right)<k_n<1+c\left(1+\frac12+\ldots+\frac1{n}\right). \)

(7 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.

Statisztika:

1 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai