 |
Az A. 809. feladat (2021. november) |
A. 809. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), a súlypontja pedig \(\displaystyle S\). Igazoljuk, hogy a háromszög síkjának tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjára teljesül, hogy
\(\displaystyle a\cdot PA^3+b\cdot PB^3+c\cdot PC^3\ge 3abc\cdot PS. \)
Javasolta: Shultz János (Szeged)
(7 pont)
A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Helyezzük el a háromszöget a komplex számsíkon oly módon, hogy a \(\displaystyle P\) pont az origóba kerüljön. A háromszög \(\displaystyle A, B, C\) csúcsaihoz tartozó komplex számok rendre \(\displaystyle x, y, z\); ennek megfelelően a súlypontnak megfelelő komplex szám \(\displaystyle \frac{x+y+z}{3}\).
Ezekkel a jelölésekkel a bizonyítandó egyenlőtlenség:
\(\displaystyle |x|^3|y-z|+|y|^3|z-x|+|z|^3|x-y|\ge |x-y||y-z||z-x||x+y+z|.\)
Könnyen ellenőrizhető az alábbi polinomazonosság:
\(\displaystyle x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z).\)
Alkalmazzunk háromszög-egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle |x^3(y-z)|+|y^3(z-x)|+|z^3(x-y)|\ge |(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)|.\)
Az \(\displaystyle |uv|=|u||v|\) azonosság többszöri használatával a bizonyítandó állítást kapjuk:
\(\displaystyle |x|^3|y-z|+|y|^3|z-x|+|z|^3|x-y|\ge |x-y||y-z||z-x||x+y+z|.\)
Statisztika:
8 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Balogh Ádám Péter. 5 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai