Az A. 817. feladat (2022. január)

A. 817. Legyen $\displaystyle ABC$ egy tetszőleges háromszög. Tekintsük azt a kört, amely érinti az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ oldalt, és belülről érinti a háromszög körülírt körét a $\displaystyle T$ pontban. A háromszög beírt körének középpontja legyen $\displaystyle I$, és a beírt kör érintse a $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$, illetve $\displaystyle AB$ oldalt a $\displaystyle D$, $\displaystyle E$, illetve $\displaystyle F$ pontban. Legyen $\displaystyle N$ a $\displaystyle DF$ szakasz felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle BTN$ háromszög körülírt köre, a $\displaystyle TI$ egyenes és a $\displaystyle D$ pontból az $\displaystyle EF$ szakaszra állított merőleges egy ponton megy át.

Javasolta: Diaconescu Tashi (Románia)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először kimondunk néhány ismert lemmát amire szükségünk lesz. A teljesség kedvéért a bizonyításukat is leírjuk.

1. Lemma: Adott egy $\displaystyle ABC$ háromszög. A $\displaystyle D$ pont az $\displaystyle ABC$ köréírt köréhez $\displaystyle B$-ben és $\displaystyle C$-ben húzott érintők metszéspontja. Ekkor $\displaystyle AD$ szimmedián, azaz ha az $\displaystyle AD$ egyenest tükrözzük az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$-ból induló belső szögfelezőjére, akkor az $\displaystyle A$-ból induló súlyvonal egyenesét kapjuk.

Bizonyítás: Vegyük fel a $\displaystyle D$ középpontú, $\displaystyle DB$ sugarú kört, ezt messe az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ egyenes másodszor rendre az $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ pontokban. Legyen $\displaystyle O$ az $\displaystyle ABC$ köréírt körének középpontja. A $\displaystyle D$ pont definíciója miatt $\displaystyle OCD \sphericalangle=DBO \sphericalangle=90^{\circ}$, így $\displaystyle BOC \sphericalangle+CDB \sphericalangle=180^{\circ}$. A kerületi és középponti szögek tételét használva

$\displaystyle EBF \sphericalangle=BAF\sphericalangle+AFB\sphericalangle=\frac{1}{2}(BOC\sphericalangle+CDB\sphericalangle)=90^{\circ},$

Így $\displaystyle EF$ átmérő a $\displaystyle D$ középpontú körben, tehát $\displaystyle D$ az $\displaystyle EF$ szakasz felezőpontja. $\displaystyle EBCF$ húrnégyszög, így $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle AFE$ hasonló háromszögek. Emiatt ha az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$-ból induló súlyvonalát tükrözzük a szögfelezőre, akkor pont az $\displaystyle AFE$ súlyvonalát, az $\displaystyle AD$ egyenest kapjuk, és ezt akartuk bizonyítani.

2. Lemma: Legyen $\displaystyle ABC$ háromszög, legyenek $\displaystyle D$, $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ rendre a szemközti csúcsot nem tartalmazó $\displaystyle BC$, $\displaystyle AC$ és $\displaystyle AB$ ív felezőpontjai a háromszög köréírt körén. Ekkor $\displaystyle EF$ merőleges $\displaystyle AD$ szögfelezőre. Továbbá az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének középpontja megegyezik a $\displaystyle DEF$ háromszög magasságpontjával.

Bizonyítás: A szögekre a szokásos jelölést használva $\displaystyle EFA \sphericalangle=\beta/2$ és $\displaystyle FAD \sphericalangle=\alpha/2+\gamma/2$, így tényleg merőleges $\displaystyle AD$ és $\displaystyle EF$. Emiatt az $\displaystyle AD$ egyenes egyben a $\displaystyle BAC \sphericalangle$ szögfelezője és a $\displaystyle D$-ből induló magasságvonal a $\displaystyle DEF$ háromszögben, amiből a lemma állítása következik.

3. Lemma: Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságpontja $\displaystyle H$, köréírt körének középpontja $\displaystyle O$. Jelölje a $\displaystyle BC$ oldal felezőpontját $\displaystyle F$, tovább legyen $\displaystyle D$ az $\displaystyle A$-val átellenes pont a köréírt körön. Ekkor $\displaystyle D$, $\displaystyle F$ és $\displaystyle H$ egy egyenesre esnek, ráadásul $\displaystyle F$ a $\displaystyle DH$ szakasz felezőpontja. Továbbá $\displaystyle HA=2 \cdot FO$.

Bizonyítás: A lemma első fele egyszerű szögszámolás. Legyen $\displaystyle D'$ a $\displaystyle H$ tükörképe az $\displaystyle F$ pontra. $\displaystyle BHC \sphericalangle=180^{\circ}-\alpha$, és $\displaystyle HBD'C$ paralelogramma, így a $\displaystyle CD'B\sphericalangle$ is ennyi, azaz $\displaystyle D'$ a köréírt körön helyezkedik el. Továbbá $\displaystyle D'BA \sphericalangle=CBA\sphericalangle+HCB\sphericalangle=90^{\circ}$, így $\displaystyle D'$ az $\displaystyle A$-val átellenes pont, azaz $\displaystyle D'=D$. A $\displaystyle DHA$ háromszögben $\displaystyle FO$ középvonal, így $\displaystyle HA=2 \cdot FO$, ezzel a lemma bizonyítását befejeztük.

4. Lemma: Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög köréírt köre $\displaystyle k$, és legyen $\displaystyle c$ az a kör ami belülről érinti a $\displaystyle k$ kört a $\displaystyle T$ pontban, továbbá érinti az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ oldalakat rendre a $\displaystyle T_1$ és $\displaystyle T_2$ pontokban. Legyen $\displaystyle U$ az $\displaystyle A$-t tartalmazó $\displaystyle BC$ ív felezőpontja a $\displaystyle k$ körön. Jelölje $\displaystyle I$ az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének a középpontját. Ekkor $\displaystyle I$ a $\displaystyle T_1T_2$ szakasz felezőpontja, továbbá a $\displaystyle T$, $\displaystyle I$ és $\displaystyle U$ pontok egy egyenesre esnek.

Bizonyítás: Legyen $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ rendre a $\displaystyle C$-t és $\displaystyle B$-t nem tartalmazó $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ ív felezőpontja a $\displaystyle k$ körön. Látható, hogy ha $\displaystyle T$-ből nagyítva a $\displaystyle c$ kört a $\displaystyle k$ körbe visszük, akkor $\displaystyle T_1$ az $\displaystyle X$ pontba, míg $\displaystyle T_2$ az $\displaystyle Y$ pontba megy, így $\displaystyle T$, $\displaystyle T_1$ és $\displaystyle X$ valamint $\displaystyle T$, $\displaystyle T_2$ és $\displaystyle Y$ egy egyenesre esik. Alkalmazzuk a Pascal-tételt a $\displaystyle TXCABY$ (hurkolt) hatszögre. Ez pont azt adja, hogy $\displaystyle T_1$, $\displaystyle T_2$ és $\displaystyle I$ egy egyenesre esnek. $\displaystyle I$ rajta van az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$-ból induló szögfelezőjén, és $\displaystyle AT_1T_2$ egyenlőszárú, mivel $\displaystyle AT_1$ és $\displaystyle AT_2$ érinti a $\displaystyle c$ kört, így $\displaystyle I$ tényleg a $\displaystyle T_1T_2$ szakasz felezőpontja.

A 2. Lemma miatt $\displaystyle XY$ párhuzamos az $\displaystyle A$-ból induló külső szögfelezővel, azaz $\displaystyle AU$-val, így $\displaystyle XAUY$ húrtrapéz, tehát az $\displaystyle XA$ és $\displaystyle UY$ ívek ugyanolyan hosszúak. Emiatt $\displaystyle YTU\sphericalangle=ATX\sphericalangle$ teljesül. Az 1. Lemma miatt $\displaystyle TA$ szimmedián a $\displaystyle TT_1T_2$ háromszögben, és bizonyítottuk, hogy $\displaystyle TI$ súlyvonal, így $\displaystyle ATT_1 \sphericalangle=T_2TI\sphericalangle$. Ezeket összevetve $\displaystyle YTU \sphericalangle=YTI\sphericalangle$, ami pont azt jelenti, hogy $\displaystyle T$, $\displaystyle I$ és $\displaystyle U$ egy egyenesre esnek.

Térjünk rá a feladat bizonyítására. Legyen $\displaystyle k$ az $\displaystyle ABC$ köréírt köre, és legyen $\displaystyle d$ a beírt köre. Legyen $\displaystyle f$ a pozitív arányú nagyítás, ami a $\displaystyle k$ kört a $\displaystyle d$-be viszi. Legyen $\displaystyle f(A)=A'$, $\displaystyle f(B)=B'$ és $\displaystyle f(C)=C'$. Legyen a $\displaystyle k$ kör $\displaystyle A$-t tartalmzó $\displaystyle BC$ ívének felezőpontja $\displaystyle U$, a $\displaystyle d$ kör $\displaystyle A'$-t tartalmzó $\displaystyle B'C'$ ívének felezőpontja $\displaystyle V$. Ekkor $\displaystyle f(U)=V$. Legyen $\displaystyle H$ a $\displaystyle DEF$ háromszög magasságpontja. Jelölje továbbá $\displaystyle Z$ a $\displaystyle TI$ és $\displaystyle DH$ egyenesek metszéspontját. Ekkor azt kell igazolnunk, hogy $\displaystyle T$, $\displaystyle Z$, $\displaystyle N$ és $\displaystyle B$ egy körre illeszkednek. Végül jelölje az $\displaystyle EF$ és $\displaystyle DE$ szakaszok felezőpontját rendre $\displaystyle M$ és $\displaystyle P$.

Világos, hogy a $\displaystyle D$, $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ pontok rendre a $\displaystyle B'C'$, $\displaystyle A'C'$ és $\displaystyle A'B'$ ívek felezőpontjai a $\displaystyle d$ körön, így a 2. Lemma szerint $\displaystyle H$ az $\displaystyle A'B'C'$ háromszög beírt körének középpotja, így $\displaystyle f(I)=H$. Ebből, és hogy $\displaystyle f(U)=V$ következik, hogy az $\displaystyle UI$ és $\displaystyle HV$ egyenesek párhuzamosak. Látható, hogy $\displaystyle V$ a $\displaystyle D$ ponttal szemközti pont a $\displaystyle d$ körön, így a 3. Lemmát alkalmazva a $\displaystyle DEF$ háromszögben kapjuk, hogy $\displaystyle H$, $\displaystyle M$ és $\displaystyle V$ egy egyenesre esnek. Továbbá a 4. Lemma miatt $\displaystyle U$, $\displaystyle I$, $\displaystyle Z$ és $\displaystyle T$ pontok is egy egyenesen vannak, így $\displaystyle IZ$ és $\displaystyle MH$ párhuzamosak. Vegyük észre, hogy $\displaystyle ZH$ és $\displaystyle IM$ is merőleges az $\displaystyle EF$ egyenesre, azaz egymással párhuzamosak. Ezek alapján $\displaystyle MHZI$ paralelogramma, tehát $\displaystyle MI=HZ$. Alkalmazva a 3. Lemmát adódik, hogy $\displaystyle 2 \cdot MI=HD$, így $\displaystyle Z$ a $\displaystyle HD$ szakasz felezőpontja. Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle Z$ rajta van a $\displaystyle DEF$ háromszög Feuerbach-körén, amin $\displaystyle N$, $\displaystyle M$ és $\displaystyle P$ is rajta van.

Jelölje $\displaystyle g$ a $\displaystyle d$ körre vonatkozó inverziót. Ismer és könnyű meggondolni, hogy $\displaystyle g(M)=A$ (mivel az $\displaystyle A$ pont polárisa a $\displaystyle d$ körre nézve az $\displaystyle EF$ egyenes), és hasonlóan $\displaystyle g(P)=C$ és $\displaystyle g(N)=B$. Tehát a $\displaystyle g$ transzformáció a $\displaystyle DEF$ háromszög Feuerbach-körét a $\displaystyle k$ körbe viszi. Emiatt $\displaystyle g(Z)=T$. Ebből azonban kész vagyunk, mert ismert tuljadonsága az inverziónak (és a pont körre vonatkozó hatványának megfordításából egyszerűen látszik), hogy $\displaystyle NZg(Z)g(N)$, azaz $\displaystyle NZTB$ húrnégyszöget alkot. Ezzel a feladat állítását bizonyítottuk.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bán-Szabó Áron, Diaconescu Tashi, Molnár-Szabó Vilmos, Seres-Szabó Márton, Varga Boldizsár.
6 pontot kapott:	Ben Gillott, Nádor Benedek.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai