 |
Az A. 818. feladat (2022. február) |
A. 818. Határozzuk meg mindazokat az \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) pozitív egész számokból álló párokat, amelyekre \(\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1\) osztható \(\displaystyle m\)-mel és \(\displaystyle n\)-nel is.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(7 pont)
A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás.
Válasz: Két megoldás van, az \(\displaystyle m=n=1\) és az \(\displaystyle m=n=3\).
Ha \(\displaystyle m=n\), akkor \(\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1=3\), így \(\displaystyle m=n=1\) vagy \(\displaystyle m=n=3\).
A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle d=|m-n|>0\). A \(\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1=9^d+3^d+1\) szám nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal, így \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) sem.
Legyen \(\displaystyle k\) a legnagyobb kitevő, amelyre \(\displaystyle 3^k|d\). Legyen \(\displaystyle p\) az \(\displaystyle m\) egyik prímosztója, és legyen \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle 3\) rendje modulo \(\displaystyle p\), azaz \(\displaystyle r\) a legkisebb pozitív egész szám, melyre \(\displaystyle 3^r \equiv 1 \pmod p\). Vegyük észre, hogy \(\displaystyle r|3d\), mivel \(\displaystyle p\big|(3^d-1)(9^d+3^d+1)=3^{3d}-1\). Továbbá \(\displaystyle r\nmid d\), mert ha \(\displaystyle r|d\), akkor \(\displaystyle 3^d\equiv1 \pmod{p}\), tehát \(\displaystyle 9^d+3^d+1\equiv3\pmod{p}\), ami nem lehet, mert \(\displaystyle p|9^d+3^d+1\) és \(\displaystyle p \neq 3\). Ebből látható, hogy \(\displaystyle r\)-ben a \(\displaystyle 3\) kitevője éppen \(\displaystyle 1\)-gyel nagyobb, mint \(\displaystyle d\)-ben, azaz \(\displaystyle 3^{k+1}|r\).
Kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle r|p-1\), tehát \(\displaystyle p\equiv 1\) modulo \(\displaystyle r\), így \(\displaystyle p\equiv 1\) modulo \(\displaystyle 3^{k+1}\). Ezt minden \(\displaystyle p|m\) prímre el lehet mondani, így \(\displaystyle m\equiv 1\) modulo \(\displaystyle 3^{k+1}\).
Ugyanez igaz \(\displaystyle n\)-re is, tehát \(\displaystyle n\equiv 1\) modulo \(\displaystyle 3^{k+1}\).
Ebből az következik, hogy \(\displaystyle 3^{k+1}\big| |m-n|=d\). Ez azonban ellentmond annak a feltevésünknek, hogy \(\displaystyle k\) a legnagyobb kitevő, amire \(\displaystyle 3^k\big |d\).
Tehát valóban csak az \(\displaystyle m=n=1\) és \(\displaystyle m=n=3\) a megoldások.
Statisztika:
6 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Ben Gillott, Varga Boldizsár. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2022. februári matematika feladatai