Az A. 818. feladat (2022. február)

A. 818. Határozzuk meg mindazokat az $\displaystyle m$, $\displaystyle n$ pozitív egész számokból álló párokat, amelyekre $\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1$ osztható $\displaystyle m$-mel és $\displaystyle n$-nel is.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Válasz: Két megoldás van, az $\displaystyle m=n=1$ és az $\displaystyle m=n=3$.

Ha $\displaystyle m=n$, akkor $\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1=3$, így $\displaystyle m=n=1$ vagy $\displaystyle m=n=3$.

A továbbiakban feltesszük, hogy $\displaystyle d=|m-n|>0$. A $\displaystyle 9^{|m-n|}+3^{|m-n|}+1=9^d+3^d+1$ szám nem osztható $\displaystyle 3$-mal, így $\displaystyle m$ és $\displaystyle n$ sem.

Legyen $\displaystyle k$ a legnagyobb kitevő, amelyre $\displaystyle 3^k|d$. Legyen $\displaystyle p$ az $\displaystyle m$ egyik prímosztója, és legyen $\displaystyle r$ a $\displaystyle 3$ rendje modulo $\displaystyle p$, azaz $\displaystyle r$ a legkisebb pozitív egész szám, melyre $\displaystyle 3^r \equiv 1 \pmod p$. Vegyük észre, hogy $\displaystyle r|3d$, mivel $\displaystyle p\big|(3^d-1)(9^d+3^d+1)=3^{3d}-1$. Továbbá $\displaystyle r\nmid d$, mert ha $\displaystyle r|d$, akkor $\displaystyle 3^d\equiv1 \pmod{p}$, tehát $\displaystyle 9^d+3^d+1\equiv3\pmod{p}$, ami nem lehet, mert $\displaystyle p|9^d+3^d+1$ és $\displaystyle p \neq 3$. Ebből látható, hogy $\displaystyle r$-ben a $\displaystyle 3$ kitevője éppen $\displaystyle 1$-gyel nagyobb, mint $\displaystyle d$-ben, azaz $\displaystyle 3^{k+1}|r$.

Kis Fermat-tétel szerint $\displaystyle r|p-1$, tehát $\displaystyle p\equiv 1$ modulo $\displaystyle r$, így $\displaystyle p\equiv 1$ modulo $\displaystyle 3^{k+1}$. Ezt minden $\displaystyle p|m$ prímre el lehet mondani, így $\displaystyle m\equiv 1$ modulo $\displaystyle 3^{k+1}$.

Ugyanez igaz $\displaystyle n$-re is, tehát $\displaystyle n\equiv 1$ modulo $\displaystyle 3^{k+1}$.

Ebből az következik, hogy $\displaystyle 3^{k+1}\big| |m-n|=d$. Ez azonban ellentmond annak a feltevésünknek, hogy $\displaystyle k$ a legnagyobb kitevő, amire $\displaystyle 3^k\big |d$.

Tehát valóban csak az $\displaystyle m=n=1$ és $\displaystyle m=n=3$ a megoldások.

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Ben Gillott, Varga Boldizsár.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai