Az A. 820. feladat (2022. február)

A. 820. Legyen $\displaystyle ABC$ egy tetszőleges háromszög. A háromszög $\displaystyle a$ oldalához hozzáírt kör az $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$ és $\displaystyle CA$ egyeneseket rendre a $\displaystyle C_a$, $\displaystyle A_a$ és $\displaystyle B_a$ pontokban érinti. Hasonlóan, a háromszög $\displaystyle b$ oldalához hozzáírt kör az $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$ és $\displaystyle CA$ egyeneseket rendre a $\displaystyle C_b$, $\displaystyle A_b$ és $\displaystyle B_b$ pontokban érinti. Végül a háromszög $\displaystyle c$ oldalához hozzáírt kör az $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$ és $\displaystyle CA$ egyeneseket rendre a $\displaystyle C_c$, $\displaystyle A_c$ és $\displaystyle B_c$ pontokban érinti. Legyen $\displaystyle A'$ az $\displaystyle A_bC_b$ és $\displaystyle A_cB_c$ egyenesek metszéspontja. Hasonlóan, legyen $\displaystyle B'$ a $\displaystyle B_aC_a$ és $\displaystyle A_cB_c$ egyenesek, $\displaystyle C'$ pedig az $\displaystyle A_bC_b$ és $\displaystyle B_aC_a$ egyenesek metszéspontja. Végül legyen $\displaystyle T_a$, $\displaystyle T_b$ és $\displaystyle T_c$ a beírt kör érintési pontja rendre az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ oldalon.

$\displaystyle a)$ Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle A'A_a$, $\displaystyle B'B_b$ és $\displaystyle C'C_c$ egyenesek egy ponton mennek át.

$\displaystyle b)$ Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle A'T_a$, $\displaystyle B'T_b$ és $\displaystyle C'T_c$ egyenesek is egy ponton mennek át, és ez a pont rajta van az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságpontja és beírt körének középpontja által alkotott egyenesen.

Javasolta: Csaplár Viktor (Bátorkeszi) és Hegedűs Dániel (Gyöngyös)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Az állítást a trigonometrikus Ceva-tétellel fogjuk belátni. Az $\displaystyle A_bA'A_a\sphericalangle$ szöget jelölje $\displaystyle x$, az $\displaystyle A_cA'A_a\sphericalangle$ szöget pedig $\displaystyle y$. A $\displaystyle \sin x/\sin y$ arányt az $\displaystyle A'A_bA_c$ háromszög segítségével számoljuk ki. Ismert, hogy a szokásos jelölésekkel $\displaystyle CA_b=s-a$, $\displaystyle CA_a=s-b$, így $\displaystyle A_bA_a=(s-a)+(s-b)=c$. Hasonlóan bizonyítható, hogy $\displaystyle A_CA_a=b$. A szinusz-tételt alkalmazva az $\displaystyle A'A_aA_b$ háromszögben (felhasználva, hogy $\displaystyle A_aA_bC_b\sphericalangle=\frac{\pi-\beta}{2}$) megkapjuk, hogy $\displaystyle \frac{\sin x}{\sin \frac{\pi-\beta}{2}}=\frac{c}{A'A_a}$. Hasonlóan, a szinusz-tételt az $\displaystyle A'A_aA_c$ háromszögben alkalmazva $\displaystyle \frac{\sin y}{\sin \frac{\pi-\gamma}{2}}=\frac{b}{A'A_a}$. A két arány hányadosát véve $\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}=\frac{c\cos \frac{\beta}{2}}{b\cos\frac{\gamma}{2}}$. Innen logikai szimmetria miatt könnyen számolható a másik két arány is, és egyszerűen ellenőrizhető, hogy a három arány szorzata 1.

Megjegyzés: A megoldás során azt is észre lehet venni, hogy a szinusztételt és a $\displaystyle \sin \gamma=2\sin \frac{\gamma}{2}\cos \frac{\gamma}{2}$ azonosságot felhasználva

$\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}=\frac{c\cos \frac{\beta}{2}}{b\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}}.$

Most azt is észrevéve, hogy $\displaystyle A_bA'A_c\sphericalangle=\pi-(\pi-\beta)/2-(\pi-\gamma)/2=\beta/2+\gamma/2$ azonnal adódik, hogy $\displaystyle x=\gamma/2$ és $\displaystyle y=\beta/2$. Innen pedig (felhasználva, hogy $\displaystyle A'B'C'$ szögei $\displaystyle (\alpha+\beta)/2$, $\displaystyle (\beta+\gamma)/2$ és $\displaystyle (\gamma+\alpha)/2$) könnyű látni, hogy a metszéspont az $\displaystyle A'B'C'$ háromszög magasságpontja.

b) Először azt látjuk be, hogy $\displaystyle A'A$ merőleges a $\displaystyle BC$ oldalra. Ez úgy fog kijönni, hogy megmutatjuk, $\displaystyle A'$ és $\displaystyle A$ merőleges vetülete a $\displaystyle BC$ oldalon ugyanaz a pont, pontosabban azt mutatjuk meg, hogy ugyanolyan arányban osztják a vetületek az $\displaystyle A_bA_c$ szakaszt. Az $\displaystyle A'$ merőleges vetülete ($\displaystyle T'$) könnyen látható, hogy $\displaystyle A_bT'=A'T'\text{ctg}\frac{\pi-\beta}{2}=A'T'\text{tg}\frac{\beta}{2}$ és $\displaystyle A_cT'=A'T'\text{ctg}\frac{\pi-\gamma}{2}=A'T'\text{tg}\frac{\gamma}{2}$ szakaszokra osztja $\displaystyle A_bA_c$-t. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$-ból induló magasságának talppontja ($\displaystyle T$) a $\displaystyle BC$ oldalt jól ismert módon $\displaystyle CT=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ és $\displaystyle BT=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$ hosszú szakaszokra bontja. Innen

$\displaystyle A_bT=(s-a)+\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}=\frac{(b+c-a)a+(a^2+b^2-c^2)}{2c}=\frac{(b+c)a+b^2-c^2}{2a}=\frac{(b+c)(a+b-c)}{2a}.$

Hasonló módon

$\displaystyle A_cT=(s-a)+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}=\frac{(b+c)(a+c-b)}{2a}.$

Az osztóviszonyok egyenlőségéhez tehát azt kéne belátni, hogy

$\displaystyle \frac{\text{tg}\frac{\beta}{2}}{\text{tg}\frac{\gamma}{2}}=\frac{a+b-c}{a+c-b}.$

Ez pedig abból következik, hogy jól ismert és könnyen látható módon $\displaystyle \text{tg}\frac{\beta}{2}(s-b)$ és $\displaystyle \text{tg}\frac{\gamma}{2}(s-c)$ is megegyezik a beírt kör sugarával.

Ebből azonnal következik, hogy $\displaystyle A'A$, $\displaystyle B'B$ és $\displaystyle C'C$ egy ponton mennek át, mégpedig az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságpontján.

A továbbiakhoz vegyük észre, hogy a bebizonyított merőlegesség miatt

$\displaystyle C'A'A\sphericalangle=\pi/2-CA_bA'\sphericalangle=\pi/2-(\pi-\beta)/2=\beta/2$

és ugyanígy $\displaystyle A'C'C\sphericalangle$ is $\displaystyle \beta/2$. Így az $\displaystyle A'C'$, $\displaystyle A'A$ és $\displaystyle C'C$ egyenesek egy egyenlő szárú háromszöget alkotnak, azaz $\displaystyle A'A$ és $\displaystyle C'C$ metszéspontja egyforma messze van $\displaystyle A'$-től és $\displaystyle C'$-től. Logikai szimmetria miatt tehát a metszéspont $\displaystyle A'$-től, $\displaystyle B'$-től és $\displaystyle C'$-től is egyforma messze van. Ezt azt jelenti, hogy $\displaystyle AA'$, $\displaystyle BB'$ és $\displaystyle CC'$ metszéspontja (amellett, hogy az eredeti háromszög magasságpontja) az $\displaystyle A'B'C'$ háromszög körülírt körének középpontja. Végül $\displaystyle T_aT_c$ és $\displaystyle A_bC_b$ párhuzamosak egymással, így $\displaystyle A'B'C'$ és $\displaystyle T_aT_bT_c$ középpontosan hasonlóak. A hasonlóság középpontja az $\displaystyle A'T_a$, $\displaystyle B'T_b$ és $\displaystyle C'T_c$ egyenesek metszéspontja. Ennél a hasonlóságnál az $\displaystyle A'B'C'$ körülírt köre középpontjának, azaz az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságpontjának képe a $\displaystyle T_aT_bT_c$ háromszög körülírt körének középpontja, ami éppen az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének középpontja. Ezzel a b. rész állítását is beláttuk.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Ben Gillott, Chrobák Gergő, Diaconescu Tashi, Ho Tran Khanh Linh, Lovas Márton, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai