Az A. 822. feladat (2022. március)

A. 822. Léteznek-e $\displaystyle p$, $\displaystyle q$, $\displaystyle r$ racionális számok, melyekre $\displaystyle p+q+r=0$ és $\displaystyle pqr=1$?

Javasolta: Weisz Máté (Cambridge)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasz: Nem.

Tegyük fel, hogy

$\displaystyle \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}=0$

és

$\displaystyle \frac{a_1a_2a_3}{b_1b_2b_3}=1,$

ahol $\displaystyle a_i,b_i$ egészek. Ekkor az első egyenlet felszorzásával

$\displaystyle a_1b_2b_3+a_2b_3b_1+a_3b_1b_2=0.$

Az itt megjelenő tagokat rendre $\displaystyle y_1, y_2, y_3$ névvel ellátva adódik, hogy $\displaystyle y_1+y_2+y_3=0$ és

$\displaystyle y_1y_2y_3=(a_1a_2a_3)(b_1b_2b_3)^2=(b_1b_2b_3)^3$

a második egyenletet használva.

Legyen $\displaystyle d$ az $\displaystyle y_i$ számok legnagyobb közös osztója, és legyen $\displaystyle dz_i=y_i$. Ekkor $\displaystyle z_1+z_2+z_3=0$, és így a $\displaystyle z_i$-k páronként relatív prímek, mivel ha $\displaystyle p$ osztaná kettőjüket, akkor az összeg 0 volta miatt a harmadikat is osztaná. Innen, mivel

$\displaystyle z_1z_2z_3=(b_1b_2b_3/d)^3,$

egy köbszám, $\displaystyle z_1$, $\displaystyle z_2$ és $\displaystyle z_3$ szintén köbszámok, és természetesen nem $\displaystyle 0$-k, hiszen az $\displaystyle a_i$ és $\displaystyle b_i$ számok mind nem $\displaystyle 0$-k. Tehát valamely $\displaystyle x,y,z\neq 0$ egész számokra teljesül, hogy $\displaystyle x^3=z_1, y^3=z_2, z^3=-z_3$, így

$\displaystyle x^3+y^3=z_1+z_2=-z_3=z^3.$

A Nagy-Fermat tétel speciális esete, hogy ez az egyenlet nem megoldható, így nem léteznek megfelelő racionális számok.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Ben Gillott, Bencz Benedek, Diaconescu Tashi, Lovas Márton, Móricz Benjámin, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella, Varga Boldizsár, Wiener Anna.
6 pontot kapott:	Bognár 171 András Károly.
5 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai