Az A. 824. feladat (2022. április)

A. 824. Pozitív számok egy végtelen \(\displaystyle H\) halmazát töménynek nevezzük, ha minden \(\displaystyle \big[1/(n+1), 1/n\big]\) alakú intervallumban (ahol \(\displaystyle n\) tetszőleges pozitív egész szám) van egy olyan szám, amely előáll két \(\displaystyle H\)-beli elem különbségeként. Létezik-e olyan tömény halmaz, amelyben a számok összege véges?

Javasolta: Szűcs Gábor (Szikszó)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Igen, létezik tömény halmaz, alkalmas konstrukció például a következő: legyenek a halmazunk elemei

• \(\displaystyle 1/n^2\) minden \(\displaystyle n\)-re;
• \(\displaystyle 1/n^2 - 1/m\) minden \(\displaystyle n\)-re és minden \(\displaystyle n^2<m<(n+1)^2\) -re.

Az így kapott halmaz tömény: az 1. és 2. típusú elemek különbségeként előáll minden nem négyzetszám reciproka, és \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+1\) közül legalább az egyik nem négyzetszám. Másrészt az elemek összege valóban véges, aminek meggondolásához elegendő a 2. típusú elemek összegét megbecsülni, mivel tudjuk, hogy a négyzetszámok reciprokösszege véges. Egy adott \(\displaystyle n\)-re az ilyen tagok felülről becsülhetőek \(\displaystyle 1/n^2 - 1/(n+1)^2\) -nel, s ilyen tagból van \(\displaystyle 2n\) darab. Ezek összege tehát legfeljebb \(\displaystyle 2n(2n+1)/(n(n+1))^2<4/n(n+1)<4/n^2\). Így a halmaz összes elemének összege kisebb, mint ötször a négyzetszámok reciprokösszege, ami véges. Ezzel készen vagyunk.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Varga Boldizsár.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai