Az A. 827. feladat (2022. május)

A. 827. Legyen $\displaystyle n>1$ egész szám. Egy pakliban $\displaystyle n$-féle színű és $\displaystyle n$-féle értékű kártya van, minden szín és érték párból pontosan egy, azaz összesen $\displaystyle n^2$ darab. A paklit megkeverjük, és kiosztjuk $\displaystyle n$ játékos között úgy, hogy mindenki $\displaystyle n$ darab kártyát kapjon. A játékosok azt akarják megcsinálni, hogy egy általuk választott sorrendben leülnek egy kör alakú asztalhoz, és az első játékostól kezdve sorban leraknak egy-egy lapot, míg végül mindenki lerakta az összes lapját úgy, hogy mindig olyan kártyát kell rakni, amely sem színben, sem értékben nem egyezik meg a közvetlenül előtte lerakott kártyával (az elsőnek lerakott kártya bármi lehet). Mely $\displaystyle n$-ekre lehetséges, hogy úgy lett kiosztva a pakli, hogy a játékosok ezt nem tudják megcsinálni? (A játékosok együttműködnek egymással, és látják egymás lapjait.)

Javasolta: Kocsis Anett (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasz: Minden $\displaystyle n$-re lehetséges, hogy úgy lett kiosztva a pakli, hogy ezt nem tudják megcsinálni.

Rendeljük a pakliban lévő $\displaystyle i.$ színű és $\displaystyle j$ értékű kártyához az $\displaystyle (i,j)$ számpárt. Most megadunk egy leosztást, aminél nem tudnak megfelelően leülni a játékosok. A $\displaystyle k.$ játékos ($\displaystyle 1 \leq k \leq n-1)$ kapja meg az összes $\displaystyle (k,l)$ alakú kártyát, ahol $\displaystyle 1 \leq l \leq n$ és $\displaystyle k \neq l$, továbbá kapja meg az $\displaystyle (n,k)$ kártyát. Az $\displaystyle n.$ játékos a megmaradó kártyákat kapja, tehát az $\displaystyle (l,l)$ alakú kártyákat ($\displaystyle 1 \leq l \leq n$). Világos, hogy ez egy szabályos kiosztás, azaz minden kártya ki lett osztva, és mindenki pontosan $\displaystyle n$ kártyát kapott.

Tegyük fel, hogy le tudnak ülni megfelelő sorrendben, és ki tudják játszani az összes kártyájukat. Ha az $\displaystyle n.$ játékos nem a kezdő, akkor jelöljük $\displaystyle k$-val annak a játékosnak a sorszámát, aki közvetlenül az $\displaystyle n$. játékos előtt ül a körben, ha pedig az $\displaystyle n.$ játékos a kezdő, akkor $\displaystyle k$-val a körben másodikat, azaz a közvetlenül utána következő játékost jelöljük. Figyeljük meg, hogy $\displaystyle k$-t úgy választottuk, hogy $\displaystyle n$-szer fog egymás után rakni az $\displaystyle n.$ és a $\displaystyle k.$ játékos. Emiatt párba állíthatóak a kártyáik úgy, hogy a párok egymás után lerakhatóak, azaz egy páron belül a két kártyának sem a színe, sem a száma nem egyezik meg. Ez azonban nem lehetséges, mert az $\displaystyle n.$ játékosnál van a $\displaystyle (k,k)$ kártya, míg a $\displaystyle k.$ játékos összes lapja vagy $\displaystyle (k,l)$ alakú, vagy az $\displaystyle (n,k)$, így egyik lapja sem állhat a $\displaystyle (k,k)$ lappal párba. Ellentmondás, mégsem tudják kijátszani az összes lapjukat ebben a kiosztásban.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Ben Gillott, Kökényesi Márk Péter.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai