Az A. 827. feladat (2022. május)

A. 827. Legyen \(\displaystyle n>1\) egész szám. Egy pakliban \(\displaystyle n\)-féle színű és \(\displaystyle n\)-féle értékű kártya van, minden szín és érték párból pontosan egy, azaz összesen \(\displaystyle n^2\) darab. A paklit megkeverjük, és kiosztjuk \(\displaystyle n\) játékos között úgy, hogy mindenki \(\displaystyle n\) darab kártyát kapjon. A játékosok azt akarják megcsinálni, hogy egy általuk választott sorrendben leülnek egy kör alakú asztalhoz, és az első játékostól kezdve sorban leraknak egy-egy lapot, míg végül mindenki lerakta az összes lapját úgy, hogy mindig olyan kártyát kell rakni, amely sem színben, sem értékben nem egyezik meg a közvetlenül előtte lerakott kártyával (az elsőnek lerakott kártya bármi lehet). Mely \(\displaystyle n\)-ekre lehetséges, hogy úgy lett kiosztva a pakli, hogy a játékosok ezt nem tudják megcsinálni? (A játékosok együttműködnek egymással, és látják egymás lapjait.)

Javasolta: Kocsis Anett (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasz: Minden \(\displaystyle n\)-re lehetséges, hogy úgy lett kiosztva a pakli, hogy ezt nem tudják megcsinálni.

Rendeljük a pakliban lévő \(\displaystyle i.\) színű és \(\displaystyle j\) értékű kártyához az \(\displaystyle (i,j)\) számpárt. Most megadunk egy leosztást, aminél nem tudnak megfelelően leülni a játékosok. A \(\displaystyle k.\) játékos (\(\displaystyle 1 \leq k \leq n-1)\) kapja meg az összes \(\displaystyle (k,l)\) alakú kártyát, ahol \(\displaystyle 1 \leq l \leq n\) és \(\displaystyle k \neq l\), továbbá kapja meg az \(\displaystyle (n,k)\) kártyát. Az \(\displaystyle n.\) játékos a megmaradó kártyákat kapja, tehát az \(\displaystyle (l,l)\) alakú kártyákat (\(\displaystyle 1 \leq l \leq n\)). Világos, hogy ez egy szabályos kiosztás, azaz minden kártya ki lett osztva, és mindenki pontosan \(\displaystyle n\) kártyát kapott.

Tegyük fel, hogy le tudnak ülni megfelelő sorrendben, és ki tudják játszani az összes kártyájukat. Ha az \(\displaystyle n.\) játékos nem a kezdő, akkor jelöljük \(\displaystyle k\)-val annak a játékosnak a sorszámát, aki közvetlenül az \(\displaystyle n\). játékos előtt ül a körben, ha pedig az \(\displaystyle n.\) játékos a kezdő, akkor \(\displaystyle k\)-val a körben másodikat, azaz a közvetlenül utána következő játékost jelöljük. Figyeljük meg, hogy \(\displaystyle k\)-t úgy választottuk, hogy \(\displaystyle n\)-szer fog egymás után rakni az \(\displaystyle n.\) és a \(\displaystyle k.\) játékos. Emiatt párba állíthatóak a kártyáik úgy, hogy a párok egymás után lerakhatóak, azaz egy páron belül a két kártyának sem a színe, sem a száma nem egyezik meg. Ez azonban nem lehetséges, mert az \(\displaystyle n.\) játékosnál van a \(\displaystyle (k,k)\) kártya, míg a \(\displaystyle k.\) játékos összes lapja vagy \(\displaystyle (k,l)\) alakú, vagy az \(\displaystyle (n,k)\), így egyik lapja sem állhat a \(\displaystyle (k,k)\) lappal párba. Ellentmondás, mégsem tudják kijátszani az összes lapjukat ebben a kiosztásban.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Ben Gillott, Kökényesi Márk Péter.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai