Az A. 828. feladat (2022. május)

A. 828. Az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének középpontja $\displaystyle I$, hozzáírt körei pedig $\displaystyle \Omega_A$, $\displaystyle \Omega_B$ és $\displaystyle \Omega_C$. Legyen $\displaystyle \ell_A$ az az egyenes, amely átmegy az $\displaystyle I$ pontból az $\displaystyle \Omega_A$ körhöz húzott érintők érintési pontjain. Az $\displaystyle \ell_B$ és $\displaystyle \ell_C$ egyenesek hasonlóan vannak definiálva. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle \ell_A$, $\displaystyle \ell_B$ és $\displaystyle \ell_C$ egyenesek által meghatározott háromszög magasságpontja megegyezik az $\displaystyle ABC$ háromszög Nagel-pontjával.

(Ha egy háromszög csúcsait összekötjük a szemközti oldalhoz hozzáírt körök érintési pontjaival, a kapott három szakasz közös pontja a háromszög Nagel-pontja.)

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgaria)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először egy lemmát bizonyítunk be:

Lemma: Legyen adott egy $\displaystyle P$ pont az $\displaystyle \Omega_1$ és $\displaystyle \Omega_2$ körökön kívül. Messék egymást $\displaystyle P$-nek a körökre vett polárisai a $\displaystyle Q$ pontban. Ekkor a $\displaystyle PQ$ szakasz felezőpontja rajta van az $\displaystyle \Omega_1$ és $\displaystyle \Omega_2$ körök hatványvonalán.

1. Bizonyítás (Ankan Bhattacharya): Legyen $\displaystyle \Gamma$ a $\displaystyle PQ$ átmérőjű kör. $\displaystyle Q$ rajta van a $\displaystyle P$ pont $\displaystyle \Omega_1$-re vett polárisán, így ismert, hogy $\displaystyle P$ is rajta van a $\displaystyle Q$ polárisán. Legyen $\displaystyle P$ inverze az $\displaystyle \Omega_1$ körre $\displaystyle P'$. Ekkor ismert, hogy $\displaystyle P'$ rajta van a $\displaystyle P$ pont $\displaystyle \Omega_1$-re vett polárisán, és $\displaystyle PP'$ merőleges erre a polárisra, tehát $\displaystyle P'$ rajta van a $\displaystyle \Gamma$ körön. Hasonló állítás kimondható $\displaystyle Q$-ra és az inverzére, $\displaystyle Q'$-re is, így a $\displaystyle \Gamma$ kör négy pontjának képe ($\displaystyle P, Q, P', Q'$) szintén a $\displaystyle \Gamma$ körön lesz az $\displaystyle \Omega_1$ körre vett inverzió után, tehát ennél az inverziónál $\displaystyle \Gamma$ kör képe önmaga. Emiatt $\displaystyle \Gamma$ merőleges az $\displaystyle \Omega_1$ körre, és ugyanígy látható, hogy az $\displaystyle \Omega_2$ körre is merőleges. Tehát $\displaystyle \Gamma$ középpontja rajta van a két kör hatványvonalán (mindkettő körhöz a $\displaystyle \Gamma$ sugarával megegyező hosszúságú érintő húzható belőle), és ebből azonnal következik a bizonyítandó.

2. Bizonyítás (Pavel Kozhevnikov): Tekintsük a $\displaystyle P$ pontot egy 0 sugarú körnek. Legyenek a $\displaystyle P$-ből $\displaystyle \Omega_1$-hez húzott érintők érintési pontjai $\displaystyle T$ és $\displaystyle S$. Ekkor világos, hogy a $\displaystyle PT$ és $\displaystyle PS$ szakaszok felezőpontjainak ugyanazok a hatványai $\displaystyle P$-re és $\displaystyle \Omega_1$-re, így $\displaystyle P$ és $\displaystyle \Omega_1$ hatványvonala megegyezik a $\displaystyle P$ pont $\displaystyle \Omega_1$-re vonatkozó polárisának a $\displaystyle P$ pontból vett $\displaystyle 1/2$ arányú kicsinyítettjével. Hasonló mondható $\displaystyle \Omega_2$ esetében is. A két hatványonal metszéspontja egyrészt $\displaystyle PQ$ felezőpontja (hiszen az eredeti metszéspontot, $\displaystyle Q$-t kell $\displaystyle 1/2$ arányban kicsinyíteni $\displaystyle P$-ből), másrészt a három kör ($\displaystyle P$, $\displaystyle \Omega_1$ és $\displaystyle \Omega_2$) hatványpontja, azaz $\displaystyle P$ valóban rajta van $\displaystyle \Omega_1$ és $\displaystyle \Omega_2$ hatványvonalán.

Térjünk rá a feladat bizonyítására. Alkossák a feladatban szereplő $\displaystyle \ell_A$, $\displaystyle \ell_B$ és $\displaystyle \ell_C$ egyenesek (melyek az $\displaystyle I$ pont polárisai a hozzáírt körökre nézve) a $\displaystyle \Delta$ háromszöget. A $\displaystyle \Delta$ magasságpontja legyen $\displaystyle M$. Mivel $\displaystyle \Delta$ oldalai párhuzamosak a külső szögfelezőkkel, ezért a magasságvonalai párhuzamosak a hozzáírt körök páronként vett hatványvonalaival. Így a lemmát felhasználva nem nehéz látni, hogy $\displaystyle IM$ felezőpontja a hozzáírt körök hatványpontja.

Legyen $\displaystyle J$ az $\displaystyle ABC$ háromszög középháromszögében a beírt kör középpontja. Ismert, és baricentrikus koordinátákkal könnyen kiszámolható, hogy $\displaystyle IN$ felezőpontja éppen $\displaystyle J$, ahol $\displaystyle N$ a háromszög Nagel-pontja. A számoláshoz csak annyit kell tudni, hogy $\displaystyle I$ baricentrikus koordinátái $\displaystyle (\frac{a}{2s},\frac{b}{2s},\frac{c}{2s})$, $\displaystyle J$ baricentrikus koordinátái $\displaystyle (\frac{b+c}{4s},\frac{c+a}{4s},\frac{a+b}{4s})$, $\displaystyle N$ baricentrikus koordinátái pedig $\displaystyle (\frac{b+c-a}{2s},\frac{a+c-b}{2s},\frac{a+b-c}{2s})$.

Az eddigiek alapján azt kéne bebizonyítani, hogy $\displaystyle J$ a hozzáírt körök hatványpontja, hiszen ekkor $\displaystyle N$ és $\displaystyle M$ egybe kell, hogy essen. Tekintsük a $\displaystyle BC$ oldal $\displaystyle F$ felezőpontját. Érintse $\displaystyle \Omega_B$ és $\displaystyle \Omega_C$ a $\displaystyle BC$ oldal egyenesét az $\displaystyle U$ és a $\displaystyle V$ pontban. Egyszerű számolással látható, hogy $\displaystyle F$ az $\displaystyle UV$ szakaszt is felezi (hiszen $\displaystyle BV=CU=s-a)$, tehát $\displaystyle F$ rajta van $\displaystyle \Omega_B$ és $\displaystyle \Omega_C$ hatványvonalán.

Mivel az eredeti háromszög a súlypontra vonatkozó középpontos hasonlósággal a középháromszögbe vihető, ezért $\displaystyle FJ$ és $\displaystyle AI$ párhuzamosak egymással, ekkor viszont $\displaystyle FJ$ merőleges az $\displaystyle A$ csúcsbeli külső szögfelezőre, ami épp az $\displaystyle \Omega_B$ és $\displaystyle \Omega_C$ középpontjait összekötő egyenes. Megkaptuk tehát, hogy $\displaystyle FJ$ az $\displaystyle \Omega_B$ és $\displaystyle \Omega_C$ körök hatványvonala, és innen logikai szimmetria alapján készen vagyunk.

Statisztika:

4 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Diaconescu Tashi, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella.
6 pontot kapott:	Ho Tran Khanh Linh.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai