Az A. 828. feladat (2022. május)

A. 828. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), hozzáírt körei pedig \(\displaystyle \Omega_A\), \(\displaystyle \Omega_B\) és \(\displaystyle \Omega_C\). Legyen \(\displaystyle \ell_A\) az az egyenes, amely átmegy az \(\displaystyle I\) pontból az \(\displaystyle \Omega_A\) körhöz húzott érintők érintési pontjain. Az \(\displaystyle \ell_B\) és \(\displaystyle \ell_C\) egyenesek hasonlóan vannak definiálva. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle \ell_A\), \(\displaystyle \ell_B\) és \(\displaystyle \ell_C\) egyenesek által meghatározott háromszög magasságpontja megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög Nagel-pontjával.

(Ha egy háromszög csúcsait összekötjük a szemközti oldalhoz hozzáírt körök érintési pontjaival, a kapott három szakasz közös pontja a háromszög Nagel-pontja.)

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgaria)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először egy lemmát bizonyítunk be:

Lemma: Legyen adott egy \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle \Omega_1\) és \(\displaystyle \Omega_2\) körökön kívül. Messék egymást \(\displaystyle P\)-nek a körökre vett polárisai a \(\displaystyle Q\) pontban. Ekkor a \(\displaystyle PQ\) szakasz felezőpontja rajta van az \(\displaystyle \Omega_1\) és \(\displaystyle \Omega_2\) körök hatványvonalán.

1. Bizonyítás (Ankan Bhattacharya): Legyen \(\displaystyle \Gamma\) a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű kör. \(\displaystyle Q\) rajta van a \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle \Omega_1\)-re vett polárisán, így ismert, hogy \(\displaystyle P\) is rajta van a \(\displaystyle Q\) polárisán. Legyen \(\displaystyle P\) inverze az \(\displaystyle \Omega_1\) körre \(\displaystyle P'\). Ekkor ismert, hogy \(\displaystyle P'\) rajta van a \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle \Omega_1\)-re vett polárisán, és \(\displaystyle PP'\) merőleges erre a polárisra, tehát \(\displaystyle P'\) rajta van a \(\displaystyle \Gamma\) körön. Hasonló állítás kimondható \(\displaystyle Q\)-ra és az inverzére, \(\displaystyle Q'\)-re is, így a \(\displaystyle \Gamma\) kör négy pontjának képe (\(\displaystyle P, Q, P', Q'\)) szintén a \(\displaystyle \Gamma\) körön lesz az \(\displaystyle \Omega_1\) körre vett inverzió után, tehát ennél az inverziónál \(\displaystyle \Gamma\) kör képe önmaga. Emiatt \(\displaystyle \Gamma\) merőleges az \(\displaystyle \Omega_1\) körre, és ugyanígy látható, hogy az \(\displaystyle \Omega_2\) körre is merőleges. Tehát \(\displaystyle \Gamma\) középpontja rajta van a két kör hatványvonalán (mindkettő körhöz a \(\displaystyle \Gamma\) sugarával megegyező hosszúságú érintő húzható belőle), és ebből azonnal következik a bizonyítandó.

2. Bizonyítás (Pavel Kozhevnikov): Tekintsük a \(\displaystyle P\) pontot egy 0 sugarú körnek. Legyenek a \(\displaystyle P\)-ből \(\displaystyle \Omega_1\)-hez húzott érintők érintési pontjai \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle S\). Ekkor világos, hogy a \(\displaystyle PT\) és \(\displaystyle PS\) szakaszok felezőpontjainak ugyanazok a hatványai \(\displaystyle P\)-re és \(\displaystyle \Omega_1\)-re, így \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle \Omega_1\) hatványvonala megegyezik a \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle \Omega_1\)-re vonatkozó polárisának a \(\displaystyle P\) pontból vett \(\displaystyle 1/2\) arányú kicsinyítettjével. Hasonló mondható \(\displaystyle \Omega_2\) esetében is. A két hatványonal metszéspontja egyrészt \(\displaystyle PQ\) felezőpontja (hiszen az eredeti metszéspontot, \(\displaystyle Q\)-t kell \(\displaystyle 1/2\) arányban kicsinyíteni \(\displaystyle P\)-ből), másrészt a három kör (\(\displaystyle P\), \(\displaystyle \Omega_1\) és \(\displaystyle \Omega_2\)) hatványpontja, azaz \(\displaystyle P\) valóban rajta van \(\displaystyle \Omega_1\) és \(\displaystyle \Omega_2\) hatványvonalán.

Térjünk rá a feladat bizonyítására. Alkossák a feladatban szereplő \(\displaystyle \ell_A\), \(\displaystyle \ell_B\) és \(\displaystyle \ell_C\) egyenesek (melyek az \(\displaystyle I\) pont polárisai a hozzáírt körökre nézve) a \(\displaystyle \Delta\) háromszöget. A \(\displaystyle \Delta\) magasságpontja legyen \(\displaystyle M\). Mivel \(\displaystyle \Delta\) oldalai párhuzamosak a külső szögfelezőkkel, ezért a magasságvonalai párhuzamosak a hozzáírt körök páronként vett hatványvonalaival. Így a lemmát felhasználva nem nehéz látni, hogy \(\displaystyle IM\) felezőpontja a hozzáírt körök hatványpontja.

Legyen \(\displaystyle J\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög középháromszögében a beírt kör középpontja. Ismert, és baricentrikus koordinátákkal könnyen kiszámolható, hogy \(\displaystyle IN\) felezőpontja éppen \(\displaystyle J\), ahol \(\displaystyle N\) a háromszög Nagel-pontja. A számoláshoz csak annyit kell tudni, hogy \(\displaystyle I\) baricentrikus koordinátái \(\displaystyle (\frac{a}{2s},\frac{b}{2s},\frac{c}{2s})\), \(\displaystyle J\) baricentrikus koordinátái \(\displaystyle (\frac{b+c}{4s},\frac{c+a}{4s},\frac{a+b}{4s})\), \(\displaystyle N\) baricentrikus koordinátái pedig \(\displaystyle (\frac{b+c-a}{2s},\frac{a+c-b}{2s},\frac{a+b-c}{2s})\).

Az eddigiek alapján azt kéne bebizonyítani, hogy \(\displaystyle J\) a hozzáírt körök hatványpontja, hiszen ekkor \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle M\) egybe kell, hogy essen. Tekintsük a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontját. Érintse \(\displaystyle \Omega_B\) és \(\displaystyle \Omega_C\) a \(\displaystyle BC\) oldal egyenesét az \(\displaystyle U\) és a \(\displaystyle V\) pontban. Egyszerű számolással látható, hogy \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle UV\) szakaszt is felezi (hiszen \(\displaystyle BV=CU=s-a)\), tehát \(\displaystyle F\) rajta van \(\displaystyle \Omega_B\) és \(\displaystyle \Omega_C\) hatványvonalán.

Mivel az eredeti háromszög a súlypontra vonatkozó középpontos hasonlósággal a középháromszögbe vihető, ezért \(\displaystyle FJ\) és \(\displaystyle AI\) párhuzamosak egymással, ekkor viszont \(\displaystyle FJ\) merőleges az \(\displaystyle A\) csúcsbeli külső szögfelezőre, ami épp az \(\displaystyle \Omega_B\) és \(\displaystyle \Omega_C\) középpontjait összekötő egyenes. Megkaptuk tehát, hogy \(\displaystyle FJ\) az \(\displaystyle \Omega_B\) és \(\displaystyle \Omega_C\) körök hatványvonala, és innen logikai szimmetria alapján készen vagyunk.

Statisztika:

4 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Diaconescu Tashi, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella.
6 pontot kapott:	Ho Tran Khanh Linh.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai