Az A. 831. feladat (2022. szeptember)

A. 831. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalának \(\displaystyle F\) a felezőpontja. Az \(\displaystyle A\)-n áthaladó, \(\displaystyle BC\)-t \(\displaystyle F\)-ben érintő kör messe az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalakat rendre az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontokban. A \(\displaystyle CM\) és \(\displaystyle BN\) szakaszok metszéspontja legyen \(\displaystyle X\). A \(\displaystyle BMX\) és \(\displaystyle CNX\) háromszögek köréírt köreinek második metszéspontja legyen \(\displaystyle P\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle A\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle P\) egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

1. Megoldás: Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle AMB\), \(\displaystyle ANC\), \(\displaystyle BXN\) és \(\displaystyle CXM\) egyenesek Miquel-pontja, amelyen az \(\displaystyle ABN\) és az \(\displaystyle ACM\) kör is átmegy. Legyen a \(\displaystyle BC\) egyenes második metszéspontja az \(\displaystyle ACPM\), illetve az \(\displaystyle ABPN\) körrel \(\displaystyle Q\), illetve \(\displaystyle R\).

A \(\displaystyle B\) pontnak az \(\displaystyle ACPQM\) és az \(\displaystyle AMFN\) körökre vonatkozó hatványából

\(\displaystyle BQ\cdot BC = BA\cdot BM = AF^2 = \left(\dfrac{BC}2\right)^2, \)

tehát \(\displaystyle BQ=\dfrac{BC}4\). Hasonlóan, a \(\displaystyle C\) pontnak az \(\displaystyle ABPRN\) és \(\displaystyle AMFN\) körökre vonatkozó hatványából láthatjuk, hogy \(\displaystyle RC=\dfrac{BC}4\).Tehát, \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) a \(\displaystyle BC\) oldal negyedelőpontjai.

Végül, az \(\displaystyle F\) pontnak az \(\displaystyle ABPRN\) és \(\displaystyle AMQPC\) körökre vonatkozó hatványa megegyezik, mert

\(\displaystyle FB\cdot FR = \frac{-BC}2\cdot\frac{BC}4 = \frac{BC}2\cdot\frac{-BC}4 = FC\cdot FQ. \)

Ezért az \(\displaystyle F\) pont rajta van a két kör hatványvonalán, ami a közös pontjaikat összekötő \(\displaystyle AP\) egyenes.

2. megoldás: A megoldás során \(\displaystyle d(X,e)\) jelöli az \(\displaystyle X\) pont távolságát az \(\displaystyle e\) egyenestől, és a szokásos \(\displaystyle a,b,c\) jelölést használjuk az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak hosszára. A körre vonatkozó hatványt felírva, \(\displaystyle BM\cdot BA=BF^2\), vagyis \(\displaystyle BM=\frac{a^2}{4c}\), ugyanígy \(\displaystyle CN=\frac{a^2}{4b}\). Vegyük észre, hogy \(\displaystyle PCN\) és \(\displaystyle PMB\) háromszögek hasonlóak, ez a forgatva nyújtás ismert tulajdonsága, de szögszámolással is egyszerű, mivel

\(\displaystyle MPB \sphericalangle =MXB \sphericalangle = CXN \sphericalangle = CPN \sphericalangle,\)

és

\(\displaystyle BMP \sphericalangle= BXP \sphericalangle=180^{\circ}-PXN\sphericalangle=NCP \sphericalangle.\)

Így a \(\displaystyle P\)-ből \(\displaystyle NC\)-re és \(\displaystyle MB\)-re állított magasságok hosszának aránya a hasonlóság arányával egyezik meg, azaz \(\displaystyle \frac{d(P,AC)}{d(P,AB)}=\frac{CN}{MB}=\frac{c}{b}\). Világos, hogy az olyan pontok mértani helye, melyeknek előjeles távolsága \(\displaystyle AC\)-től és \(\displaystyle AB\)-től \(\displaystyle \frac{c}{b}\) arányú, egy egyenes, amely tartalmazza az \(\displaystyle A\) pontot is, így elég belátni, hogy az \(\displaystyle F\) pont is erre az egyenesre esik. Az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle AFC\) háromszögek területei megegyeznek, jelölje ezt \(\displaystyle T\), így \(\displaystyle c \cdot d(F,AB)=2T=b \cdot d(F,AC)\), és pont ezt akartuk.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Archit Manas, Arnab Sanyal, Bodor Mátyás, Bognár 171 András Károly, Chrobák Gergő, Diaconescu Tashi, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Ho Tran Khanh Linh, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna.
6 pontot kapott:	Lovas Márton, Nádor Benedek, Simon László Bence.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai