Az A. 831. feladat (2022. szeptember)

A. 831. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle BC$ oldalának $\displaystyle F$ a felezőpontja. Az $\displaystyle A$-n áthaladó, $\displaystyle BC$-t $\displaystyle F$-ben érintő kör messe az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ oldalakat rendre az $\displaystyle M$ és $\displaystyle N$ pontokban. A $\displaystyle CM$ és $\displaystyle BN$ szakaszok metszéspontja legyen $\displaystyle X$. A $\displaystyle BMX$ és $\displaystyle CNX$ háromszögek köréírt köreinek második metszéspontja legyen $\displaystyle P$. Igazoljuk, hogy $\displaystyle A$, $\displaystyle F$ és $\displaystyle P$ egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

1. Megoldás: Vegyük észre, hogy a $\displaystyle P$ pont az $\displaystyle AMB$, $\displaystyle ANC$, $\displaystyle BXN$ és $\displaystyle CXM$ egyenesek Miquel-pontja, amelyen az $\displaystyle ABN$ és az $\displaystyle ACM$ kör is átmegy. Legyen a $\displaystyle BC$ egyenes második metszéspontja az $\displaystyle ACPM$, illetve az $\displaystyle ABPN$ körrel $\displaystyle Q$, illetve $\displaystyle R$.

A $\displaystyle B$ pontnak az $\displaystyle ACPQM$ és az $\displaystyle AMFN$ körökre vonatkozó hatványából

$\displaystyle BQ\cdot BC = BA\cdot BM = AF^2 = \left(\dfrac{BC}2\right)^2,$

tehát $\displaystyle BQ=\dfrac{BC}4$. Hasonlóan, a $\displaystyle C$ pontnak az $\displaystyle ABPRN$ és $\displaystyle AMFN$ körökre vonatkozó hatványából láthatjuk, hogy $\displaystyle RC=\dfrac{BC}4$.Tehát, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle R$ a $\displaystyle BC$ oldal negyedelőpontjai.

Végül, az $\displaystyle F$ pontnak az $\displaystyle ABPRN$ és $\displaystyle AMQPC$ körökre vonatkozó hatványa megegyezik, mert

$\displaystyle FB\cdot FR = \frac{-BC}2\cdot\frac{BC}4 = \frac{BC}2\cdot\frac{-BC}4 = FC\cdot FQ.$

Ezért az $\displaystyle F$ pont rajta van a két kör hatványvonalán, ami a közös pontjaikat összekötő $\displaystyle AP$ egyenes.

2. megoldás: A megoldás során $\displaystyle d(X,e)$ jelöli az $\displaystyle X$ pont távolságát az $\displaystyle e$ egyenestől, és a szokásos $\displaystyle a,b,c$ jelölést használjuk az $\displaystyle ABC$ háromszög oldalainak hosszára. A körre vonatkozó hatványt felírva, $\displaystyle BM\cdot BA=BF^2$, vagyis $\displaystyle BM=\frac{a^2}{4c}$, ugyanígy $\displaystyle CN=\frac{a^2}{4b}$. Vegyük észre, hogy $\displaystyle PCN$ és $\displaystyle PMB$ háromszögek hasonlóak, ez a forgatva nyújtás ismert tulajdonsága, de szögszámolással is egyszerű, mivel

$\displaystyle MPB \sphericalangle =MXB \sphericalangle = CXN \sphericalangle = CPN \sphericalangle,$

és

$\displaystyle BMP \sphericalangle= BXP \sphericalangle=180^{\circ}-PXN\sphericalangle=NCP \sphericalangle.$

Így a $\displaystyle P$-ből $\displaystyle NC$-re és $\displaystyle MB$-re állított magasságok hosszának aránya a hasonlóság arányával egyezik meg, azaz $\displaystyle \frac{d(P,AC)}{d(P,AB)}=\frac{CN}{MB}=\frac{c}{b}$. Világos, hogy az olyan pontok mértani helye, melyeknek előjeles távolsága $\displaystyle AC$-től és $\displaystyle AB$-től $\displaystyle \frac{c}{b}$ arányú, egy egyenes, amely tartalmazza az $\displaystyle A$ pontot is, így elég belátni, hogy az $\displaystyle F$ pont is erre az egyenesre esik. Az $\displaystyle ABF$ és $\displaystyle AFC$ háromszögek területei megegyeznek, jelölje ezt $\displaystyle T$, így $\displaystyle c \cdot d(F,AB)=2T=b \cdot d(F,AC)$, és pont ezt akartuk.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Archit Manas, Arnab Sanyal, Bodor Mátyás, Bognár 171 András Károly, Chrobák Gergő, Diaconescu Tashi, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Ho Tran Khanh Linh, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna.
6 pontot kapott:	Lovas Márton, Nádor Benedek, Simon László Bence.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai