Az A. 834. feladat (2022. október)

A. 834. Legyen \(\displaystyle A_1A_2\ldots A_8\) konvex húrnyolcszög, és \(\displaystyle i=1,2\ldots,8\) esetén \(\displaystyle B_i= A_iA_{i+3}\cap A_{i+1}A_{i+4}\) (az indexek modulo 8 értendők). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle B_1,\ldots,B_8\) pontok egy kúpszeleten vannak.

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

Alkalmazzuk a Pascal tételt az \(\displaystyle A_1A_6A_5A_2A_7A_4\) hurkolt hatszögre. Mivel \(\displaystyle A_1A_6\cap A_2A_7=B_6\), \(\displaystyle A_6A_5\cap A_7A_4=P\) (ez a \(\displaystyle P\) pont definíciója) és \(\displaystyle A_5A_2\cap A_4A_1=B_1\), így \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle B_6\) és \(\displaystyle P\) egy egyenesre esik. Most vizsgáljuk meg a \(\displaystyle B_1B_2B_3B_4B_5B_6\) hatszöget. \(\displaystyle B_1B_2\cap B_4B_5=A_5\), \(\displaystyle B_2B_3\cap B_5B_6=A_6\). Végül pedig \(\displaystyle B_3B_4\cap B_6B_1=P\), mert \(\displaystyle B_3B_4\) egyenese megegyezik az \(\displaystyle A_4A_7\) egyenessel, és ez tartalmazza a \(\displaystyle P\) pontot a \(\displaystyle P\) definíciója alapján. Szintén a \(\displaystyle P\) definíciója alapján \(\displaystyle A_5\), \(\displaystyle A_6\) és \(\displaystyle P\) egy egyenesre esik, így a Pascal tétel megfordítása alapján \(\displaystyle B_1B_2B_3B_4B_5B_6\) egy kúpszeletre esik. Mivel 5 pont egyértelműen meghatároz egy kúpszeletet, innen a gondolatmenet ciklikus ismétlésével készen vagyunk.

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Chrobák Gergő, Diaconescu Tashi, Farkas 005 Bendegúz, Lovas Márton, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Németh Márton, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Sztranyák Gabriella, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna.
5 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai