Az A. 837. feladat (2022. november)

A. 837. Az $\displaystyle A_1A_2A_3A_4$ tetraéder minden éle érint egy $\displaystyle G$ gömböt; az $\displaystyle A_i$ csúcsból a $\displaystyle G$-hez húzott érintőszakasz hossza legyen $\displaystyle a_i$. Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^4 \frac 1{a_i}\bigg)^{\!\!2}> 2\bigg(\sum_{i=1}^4 \frac1{a_i^2}\bigg).$

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(7 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.

Fel fogjuk használni a híres Descartes 4-kör tételt, ami a következőt mondja: a síkon 4 körre pontosan akkor teljesül, hogy páronként kívülről érintik egymást (lásd ábra), ha az $\displaystyle r_1, r_2, r_3$ és $\displaystyle r_4$ sugaraikra fennáll az alábbi azonosság:

$\displaystyle \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\right).$

Ennek a tételnek itt nem részletezzük a bizonyítását. Meglepően nehéz a bizonyítása ahhoz képest, hogy mennyire egyszerű a konfiguráció, de számos bizonyítást lehet találni az interneten, kijön többek között a Hérón-képlet segítségével, trigonometriával vagy lineáris algebrai ötletekkel is.

Térjünk rá a feladatra. Legyen az $\displaystyle A_i$ középpontú $\displaystyle a_i$ sugarú gömb $\displaystyle g_i$ minden $\displaystyle 1 \leq i \leq 4$ esetén. Figyeljük meg, hogy a feltételek miatt ezek a gömbök páronként kívülről érintik egymást. Feltehetjük, hogy $\displaystyle a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq a_4$. Vetítsük le ezeket a gömböket az $\displaystyle A_1A_2A_3$ háromszög által meghatározott síkba. Legyen a vetítés után a $\displaystyle g_i$ gömb képe a $\displaystyle h_i$ kör ($\displaystyle 1 \leq i \leq 4$). Ez a sugarakon nem változtat, így a $\displaystyle h_i$ kör sugara $\displaystyle a_i$ ($\displaystyle 1 \leq i \leq 4$). Vizsgáljuk meg hogyan helyezkednek el egymáshoz képest ezek a körök. Egyrészt, a $\displaystyle h_1$, $\displaystyle h_2$ és $\displaystyle h_3$ körök páronként kívülről érintik egymást, mivel érintő gömböket vetítettünk a középpontjaik által meghatározott síkra. Továbbá $\displaystyle h_4$-nek mind a három másik körrel kell lennie közös pontjának, mivel a vetítés előtt volt közös pontjuk a gömböknek (az érintési pont). Ráadásul az nem lehet, hogy $\displaystyle h_4$ mind a három másik kört kívülről érinti, mivel az csak úgy lehetne, ha a gömböknek is ugyanezek lennének az érintési pontjaik, ám ekkor $\displaystyle A_4$-nek is az $\displaystyle A_1A_2A_3$ síkba kéne esnie.

Legyen $\displaystyle k_i=\frac{1}{a_i}$ minden $\displaystyle 1 \leq i \leq 4$-re, ekkor $\displaystyle k_1 \leq k_2 \leq k_3 \leq k_4$. A feladat állítása ezekkel a jelölésekkel az, hogy

$\displaystyle 2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)<(k_1+k_2+k_3+k_4)^2.$

Rendezzük ezt $\displaystyle k_4$-re:

$\displaystyle 0<-k_4^2+2k_4(k_1+k_2+k_3)+((k_1+k_2+k_3)^2-2(k_1^2+k_2^2+k_3^2)).$

Ez $\displaystyle k_4$-ben egy negatív főegyütthatójú másodfokú polinom, melynek $\displaystyle x_1, x_2$ gyökeire teljesül, hogy

$\displaystyle x_1+x_2=2(k_1+k_2+k_3)$

és

$\displaystyle x_1x_2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2)-(k_1+k_2+k_3)^2=(k_1+k_2+k_3)^2-4(k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3).$

Ebből könnyen adódik, hogy a két gyök éppen

$\displaystyle x_{1,2}=k_1+k_2+k_3 \pm 2\sqrt{k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3}.$

Így a bizonyítandó állítás azzal ekvivalens, hogy $\displaystyle x_1<k_4<x_2$.

Legyen $\displaystyle h$ az a legkisebb sugarú kör, amelynek a $\displaystyle h_1, h_2$ és $\displaystyle h_3$ körökkel is van közös pontja. Világos, hogy ez egy értelmes definíció, létezik ilyen kör, méghozzá az, ami a $\displaystyle h_1$, $\displaystyle h_2$ és $\displaystyle h_3$ körök által közrezárt régióban van, és mind a három kört érinti (kívülről). Ekkor a Descartes-tétel szerint

$\displaystyle k=k_1+k_2+k_3+ 2\sqrt{k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3},$

ahol $\displaystyle k$ a $\displaystyle h$ kör sugarának reciproka. Mivel a $\displaystyle h_4$ körnek a $\displaystyle h_1$, $\displaystyle h_2$ és $\displaystyle h_3$ körökkel is van közös pontja, továbbá nem érinti mindhármat, ezért $\displaystyle k_4<k=x_2$.

Már csak azt kell igazolni, hogy $\displaystyle x_1<k_4$, azaz

$\displaystyle k_1+k_2+k_3- 2\sqrt{k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3}<k_4.$

Ennél azt az erősebb állítást igazoljuk, hogy

$\displaystyle k_1+k_2+k_3- 2\sqrt{k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3}<k_3.$

Ez pedig rendezve, majd négyzetre emelve azzal ekvivalens, hogy

$\displaystyle k_1^2+2k_1k_2+k^2<4(k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3),$

ami valóban teljesül, mivel $\displaystyle k_1 \leq k_2 \leq k_3$, így $\displaystyle 2k_1k_2<4k_1k_2$, $\displaystyle k_1^2<4k_1k_3$ és $\displaystyle k_2^2<4k_2k_3$. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Diaconescu Tashi, Lovas Márton, Nádor Benedek, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella, Wiener Anna.
5 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai