 |
Az A. 844. feladat (2023. január) |
A. 844. Az ABC háromszög beírt köre a BC, AC és AB oldalakat rendre a D, E és F pontban érinti. Legyen E′ az E tükörképe a DF egyenesre, F′ pedig F tükörképe a DE egyenesre. Messe az EF egyenes az AE′F′ háromszög köréírt körét X-ben és Y-ban. Bizonyítsuk be, hogy DX=DY.
Javasolta: Lovas Márton (Budapest)
(7 pont)
A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.
Az általánosság elvesztése nélkül tegyük fel, hogy AB<AC. Legyen ω az AE′F′ kör, és messe az AB egyenes ω-t G-ben. Használjuk a bevett α, β és γ jelöléseket az ABC háromszög szögeire.
1.lemma: Az AEF′ és AFE′ háromszögek egybevágóak.
Bizonyítás: A tükrözések miatt E′F=FE=EF′, valamint AE=AF. Szögszámolással kapjuk, hogy
AEF′∢=AEF∢+FED∢+DEF′∢=(90∘−α2)+(90∘−β2)+(90∘−β2)=270∘−α2−β,
valamint
AFE′∢=360∘−AFE∢−EFD∢−DFE′∢=360∘−(90∘−α2)−(90∘−γ2)−(90∘−γ2)=
=270∘+α2+γ−180∘=270∘+α2+γ−(α+β+γ)=270∘−α2−β,
tehát a vizsgált háromszögekben két oldal és a közrezárt szög megyegyezik, ezzel a lemmát igazoltuk. Ebből az is világos, hogy az AEF és AF′E′ háromszögek hasonlóak.
2.lemma: Az FE′GD négyszög húrnégyszög.
Bizonyítás: Vegyük észre, hogy
FGE′∢=AGE′∢=AF′E′∢=AEF∢=90∘−α2=FDE∢=FDE′,
amiből a lemma következik.
3.lemma: A D pont az FGF′ háromszög köréírt körének középpontja.
Bizonyítás: Figyeljük meg, hogy FGD∢=FE′D∢= FED∢=90∘−β2, és GFD∢=BFD∢=90∘−β2, tehát az FDG háromszög egyenlőszárú, azaz FD=DG. Továbbá a tükrözés miatt FD=DF′, ami befejezi a lemma bizonyítását.
4.lemma: A GF′ és EF egyenesek párhuzamosak.
Bizonyítás: Mivel AGF′∢=AE′F′∢=AFE∢, ezért a két vizsgált egyenes ugyanakkora szöget zár be az AB egyenessel, amiből a lemma állítása következik.
Ezen lemmákkal felfegyverkezve rátérhetünk a feladatra. Legyen ω középpontja O. Két kör két metszéspontját összekötő egyenes merőleges a középpontjaikat összekötő egyenesre, tehát OD merőleges a GF′ egyenesre. Ekkor azonban OD az EF egyenesre is merőleges, és OX=OY, vagyis OD éppen az XY szakasz felezőmerőlegese, ami bizonyítja a feladat állítását.
Statisztika:
17 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Diaconescu Tashi, Elekes Dorottya, Foris Dávid, Lovas Márton, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Németh Márton, Seres-Szabó Márton, Sida Li, Simon László Bence, Sztranyák Gabriella, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. januári matematika feladatai
|
|