Az A. 850. feladat (2023. március)

A. 850. Igazoljuk, hogy létezik egy olyan $\displaystyle N$ pozitív valós szám, melyre tetszőleges $\displaystyle a,b>N$ valós számok esetén az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ hosszúságú oldalakkal rendelkező téglalap kerülete lefedhető egymásba nem nyúló egység sugarú körlapokkal (a körlapok érinthetik egymást).

Javasolta: Váli Benedek (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

Első megoldás:

Válasszuk úgy $\displaystyle N$-t, hogy ha $\displaystyle a>N$, akkor $\displaystyle \frac{a}{a+4} \geq \sqrt{1-1/100}$. Ezt meg tudjuk tenni, mivel ahogy $\displaystyle a \to \infty$ úgy $\displaystyle \frac{a}{a+4} \to 1$. Ez elsőre elég véletlenszerűnek tűnhet, de majd kiderül a megoldásból, hogy miért így választottuk $\displaystyle N$-t.

Legyenek tehát $\displaystyle a,b>N$ valós számok, és legyenek a téglalap csúcsai a $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (a,0)$, $\displaystyle (a,b)$, $\displaystyle (0,b)$ pontok. A terv az, hogy olyan egység sugarú körökkel fedjük a kerületet, melyek között szerepel négy kör, melyek középpontjai $\displaystyle (u,v)$, $\displaystyle (a+u,v)$, $\displaystyle (a+u, b+v)$, $\displaystyle (u, b+v)$ valamilyen $\displaystyle u,v \leq \frac{1}{10}$ számok esetén, ahol az $\displaystyle u$ és $\displaystyle v$ értékét később határozzuk meg. Gondoljuk meg, hogy ha például az $\displaystyle (u,v)$ középpontú kört már leraktuk, akkor onnantól a többi körnek meg tudjuk határozni a középpontját, melyeknek ebben a fedésben kell lenni (egyedül a téglalap csúcsainak közelében lehetnének komplikációk, de ott megadtuk, hogy mik lesznek a fedésben lévő körök középpontjai). Az $\displaystyle (u,v)$ középpontú körlap fedi a $\displaystyle (0,0)$ csúcsot és körülötte egy darabot a kerületből, az $\displaystyle x$ tengelyre eső oldalt az $\displaystyle (u+\sqrt{1-v^2},0)$ pontban metszi. Egy körnek muszáj fednie az $\displaystyle (u+\sqrt{1-v^2}+\varepsilon,0)$ pontot tetszőlegesen kis $\displaystyle \varepsilon$ esetén, ami csak úgy lehetséges, hogy van egy másik kör is, ami áthalad az $\displaystyle (u+\sqrt{1-v^2},0)$ ponton, így a feladat feltételei szerint ebben a pontban a két körnek érintnie kell egymást, azaz a másik kör középpontjának az $\displaystyle (u+2\sqrt{1-v^2},-v)$ pontban kell lenni. Ehhez hasonlóan látható, hogy ez a kör az $\displaystyle x$ tengelyt másodszor az $\displaystyle (u+3\sqrt{1-v^2},0)$ pontban metszi, így kell lennie egy következő körnek, ami itt érinti ezt, azaz a középpontja az $\displaystyle (u+4\sqrt{1-v^2},v)$ pontban lesz. Így folytatva látható, hogy minden $\displaystyle (u+4k\sqrt{1-v^2},v)$ és $\displaystyle (u+(4k+2)\sqrt{1-v^2},-v)$ pontban lesz egy középpont, ahol $\displaystyle k$ egész szám, és nem túl nagy, azaz amíg nem érjük el a téglalap jobb oldalát.

Ahhoz, hogy az $\displaystyle (a+u,v)$ egy kör középpontja tudjon lenni, az kéne, hogy valamelyik középpont legyen a fent felsoroltak közül, azaz $\displaystyle (u+4k\sqrt{1-v^2},v)$ alakban írható valamilyen $\displaystyle k$ pozitív egész számra. Ha ez teljesül, akkor ezzel a körrel bezárólag a felvett körlapok teljesen lefedik a téglalap alsó oldalát. Továbbá ez akkor teljesül, ha $\displaystyle a=4k\sqrt{1-v^2}$. Legyen $\displaystyle k=\left\lceil \frac{a}{4} \right\rceil$. Ekkor ebből ki tudjuk fejezni $\displaystyle v$-t:

$\displaystyle \sqrt{1-v^2}=\frac{a}{4k} \geq \frac{a}{a+4} \geq \sqrt{1-1/100},$

$\displaystyle \frac{a}{4k} \leq 1$ és $\displaystyle \sqrt{1-v^2}$ folytonos, 0-ban 1-t vesz fel és monoton csökken $\displaystyle [0,1]$-n, így a fenti egyenlőtlenségek alapján egyértelműen létezik egy $\displaystyle v \in \left[0,\frac{1}{10}\right]$ mely kielégíti az egyenletet.

Hasonlóan csináljuk meg ezt a jobb oldalra, itt azt kapjuk, hogy a körök középpontjai $\displaystyle (a+u,v+4k\sqrt{1-u^2})$ és $\displaystyle (a-u, (4k+2)\sqrt{1-u^2})$ alakúak, ahol $\displaystyle k$ egész. Most azt szeretnénk, hogy az $\displaystyle (a+u,b+v)$ ilyen alakú legyen, azaz $\displaystyle b+v=v+4k\sqrt{1-u^2}$ legyen valamilyen $\displaystyle k$ egészre. A fenti gondolatmenethez hasonlóan létezik megfelelő $\displaystyle u \leq \frac{1}{10}$ és $\displaystyle k$ egész szám, melyekre teljesül az egyenlet. Látható, hogy ha ennek megfelelően megválasztjuk az $\displaystyle u$-t és a $\displaystyle v$-t, akkor a fenti gondolatmenethez hasonlóan meghatározva a körök középpontjait, a felső és a bal oldala a téglalapnak is fedhető körökkel, ráadásul az $\displaystyle (u,b+v)$ éppen egy kör középpontja lesz. Tehát az egyetlen dolog, amit meg kell még gondolni, hogy a körök nem metszenek egymásba. Világos, hogy csak a csúcsok környékén lehetne probléma, és ott is csak úgy, hogy ha a csúcsot fedő kör két szomszédja összeérne, de az $\displaystyle u,v \leq \frac{1}{10}$ választás miatt ha $\displaystyle O_1$, $\displaystyle O_2$ és $\displaystyle O_3$ három szomszédos kör középpontja ilyen sorrendben, akkor $\displaystyle O_1O_2O_3 \sphericalangle \geq 60^{\circ}$, ami éppen azt jelenti, hogy az $\displaystyle O_1$ és $\displaystyle O_3$ középpontú körök nem metszenek egymásba.

Második megoldás:

Az előző megoldáshoz nagyon hasonló az alap gondolat, csak most azt szeretnénk, ha az $\displaystyle (u,v)$, $\displaystyle (a-u,v)$, $\displaystyle (a-u, b-v)$, $\displaystyle (u, b-v)$ pontok lennének a fedésben lévő körök középpontjai valamilyen $\displaystyle \frac{1}{20} \leq u,v \leq \frac{1}{10}$ számok esetén. Az előző megoldáshoz hasonlóan, az $\displaystyle (u,v)$ középpontú körből kiindulva, az alsó oldalt fedve $\displaystyle (u+4k\sqrt{1-v^2},v)$ és $\displaystyle (u+(4k+2)\sqrt{1-v^2},-v)$ alakúak lesznek a körök középpontjai, és azt szeretnénk, hogy $\displaystyle (a-u,v)$ ilyen alakú legyen, azaz $\displaystyle a-u=u+4k\sqrt{1-v^2}$ teljeüljön valamilyen $\displaystyle k$ egész esetén. Máshogy mondva azt szeretnénk, hogy az $\displaystyle \frac{a-2u}{4\sqrt{1-v^2}}$ szám egész legyen. Ehhez hasonlóan a jobb oldalt fedve azt a feltételt kapjuk, hogy $\displaystyle \frac{b-2v}{4\sqrt{1-u^2}}$ egész legyen, és az előző megoldáshoz hasonlóan ekkor a felső és bal oldalt is le tudjuk fedni a feltételeknek megfelelően, és a körök nem metszenek egymásba, ha $\displaystyle u, v \leq \frac{1}{10}$.

Tehát visszavezettük a feladatot arra, hogy kéne találni $\displaystyle \frac{1}{20} \leq u,v \leq \frac{1}{10}$ számokat, melyekre $\displaystyle \frac{a-2u}{4\sqrt{1-v^2}}$ és $\displaystyle \frac{b-2v}{4\sqrt{1-u^2}}$ egyszerre egész számok. Tekintsük az $\displaystyle f, g \ : \ \left[\frac{1}{20}, \frac{1}{10}\right]^2 \to \mathbb{R}$ függvényeket, melyek a fent leírt módon rendelnek, azaz $\displaystyle f(u,v)=\frac{a-2u}{4\sqrt{1-v^2}}$ és $\displaystyle g(u,v)=\frac{b-2v}{4\sqrt{1-u^2}}$. Azt kell igazolni, hogy van olyan érték, amikor mindkét függvény egész számot vesz fel.

Figyeljük meg a következőket a függvényekről. Először is világos, hogy $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ folytonos. Másodszor, ha $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ elég nagy, akkor ha $\displaystyle u$-t egy nagyon kicsit megváltoztatjuk, míg $\displaystyle v$-t fixen hagyjuk, akkor $\displaystyle f$ nagyon kicsit változik, míg $\displaystyle g$ eléggé megváltozik. Szemléletesen ez világos, most gondoljuk meg precízebben. Azt állítjuk, hogy ha $\displaystyle (u,v) \in \left[\frac{1}{20}, \frac{1}{10}\right]^2$ és $\displaystyle \varepsilon>0$ számmal elmozdítjuk $\displaystyle u$-t, azaz az $\displaystyle (u+\varepsilon,v)$ párt tekintjük, ahol $\displaystyle u+\varepsilon<\frac{1}{10}$ továbbra is teljesül, akkor

$\displaystyle |f(u,v)-f(u+\varepsilon,v)|\leq \varepsilon \ \ \text{ és } \ \ |g(u,v)-g(u+\varepsilon,v)|\geq 1000\varepsilon.$

Az első egyenlőtlenség világos, az $\displaystyle f$ függvényben a nevező legalább kettő, míg a számláló $\displaystyle -2\varepsilon$-nal változik meg. A második egyenlőtlenség bizonyítása kicsit bonyolultabb: legyen $\displaystyle c=\frac{1/20}{\sqrt{1-1/400}}$. Ez éppen a $\displaystyle h(x)=\sqrt{1-x^2}$ függvény deriváltjának abszolút értéke az $\displaystyle \frac{1}{20}$ helyen. Figyeljük meg, hogy a $\displaystyle h(x)$ függvény éppen az origó középpontú egységkör egyenlete, így konkáv az $\displaystyle \left[\frac{1}{20}, \frac{1}{10}\right]$ intervallumon, tehát a deriváltja monoton csökken, azaz az $\displaystyle \left[\frac{1}{20}, \frac{1}{10}\right]$ intervallumon $\displaystyle \frac{1}{20}$-ban minimális a derivált abszolút értéke, és ott éppen $\displaystyle c$. Emiatt

$\displaystyle |h(u)-h(u+\varepsilon)| \geq c\varepsilon,$

mivel a Lagrange-tétel szerint létezik egy olyan $\displaystyle t \in (u,u+\varepsilon)$ melyre $\displaystyle h'(t)=\frac{h(u+\varepsilon)-h(u)}{\varepsilon}$, és tudjuk, hogy $\displaystyle |h'(t)| \geq c$. A $\displaystyle |g(u,v)-g(u+\varepsilon,v)|$ kifejezést csökkentjük, ha a közös számlálójukat csükkentjük, és mindkettőnek növeljük a nevezőjét úgy, hogy a nevezőik különbsége ne csökkenjen, azaz

$\displaystyle |g(u,v)-g(u+\varepsilon,v)| \geq \frac{b-1}{4}-\frac{b-1}{4+c\varepsilon} = \frac{(b-1)(4+c\varepsilon)-4(b-1)}{4(4+c\varepsilon)} \geq \frac{(b-1)c\varepsilon}{20}.$

Ebből látható, hogy ha $\displaystyle N=\frac{20000}{c}+1$, és $\displaystyle b>N$, akkor teljesül a $\displaystyle g$ megváltozására kívánt egyenlőtlenség.

Hasonlóan ha $\displaystyle v$-t változtatjuk meg $\displaystyle \varepsilon$-nal, akkor $\displaystyle f$ legalább $\displaystyle 1000\varepsilon$-nal elmozdul, míg $\displaystyle g$ legfeljebb $\displaystyle \varepsilon$-nal. Figyeljük meg még azt is, hogy ha $\displaystyle u$-t növeljük, akkor $\displaystyle f$ csökken és $\displaystyle g$ nő, míg ha $\displaystyle v$-t növeljük, akkor $\displaystyle f$ nő és $\displaystyle g$ csökken. Most csináljuk a következőt: induljunk ki az $\displaystyle (x_0, y_0)=(\frac{1}{15},\frac{1}{15})$ pontból. Haladjunk az $\displaystyle x$ tengely mentén (azaz növeljük $\displaystyle u$-t) addig, amíg $\displaystyle g$ egész lesz, legyen ez az $\displaystyle (x_1,y_1)$ pont. A fenti megfigyelések alapján $\displaystyle y_0=y_1$ és $\displaystyle |x_1-x_0| \leq \frac{1}{1000}$. Innen növeljük az $\displaystyle y$ koordinátát, amíg $\displaystyle f$ egész nem lesz, legyen ez először az $\displaystyle (x_2, y_2)$ pontban. Ez megint legfeljebb egy $\displaystyle \frac{1}{1000}$ nagyságú lépés, így ezalatt $\displaystyle g$ legfeljebb $\displaystyle \frac{1}{1000}$-zel csökken. Most megint $\displaystyle x$-t növeljük amíg egész nem lesz $\displaystyle g$, legyen ez az $\displaystyle (x_3, y_3)$ pontban. Látható, hogy ehhez már legfeljebb $\displaystyle \frac{1}{1000 \cdot 1000}$-t kell elmozdulni az $\displaystyle x$ koordinátával, így $\displaystyle f$ legfeljebb ennyivel csökken, ráadásul $\displaystyle g(x_1,y_1)=g(x_3,y_3)$. És így tovább, felváltva növeljük az $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ koordinátát, hogy kapjuk az $\displaystyle (x_n, y_n)$ végtelen pontsorozatot, melyre $\displaystyle g(x_1,y_1)=g(x_3,y_3)=g(x_5,y_5)= \ldots$ egész és $\displaystyle f(x_2,y_2)=g(x_4,y_4)=g(x_6,y_6)= \ldots$ is egész. Látható, hogy az $\displaystyle n.$ lépésben legfeljebb $\displaystyle \frac{1}{1000^{n-1}}$-gyel mozdulunk el, így egyrészt, sosem érünk ki az $\displaystyle \left[\frac{1}{20}, \frac{1}{10}\right]^2$ tartományból, másrészt, a kapott pontsorozat konvergálni fog, és az átviteli elv szerint az $\displaystyle (x',y')$ határértékre $\displaystyle g(x',y')=g(x_1,y_1)$ egész és $\displaystyle f(x',y')=f(x_2,y_2)$ is egész, éppen ahogy akartuk.

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Diaconescu Tashi, Lovas Márton, Németh Márton, Varga Boldizsár, Wiener Anna.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai