Az A. 858. feladat (2023. szeptember)

A. 858. Igazoljuk, hogy a következő egyenletrendszernek nincs más megoldása az egész számok körében, csak $\displaystyle u=v=x=y=z=0$:

$$\begin{align*} uv & =x^2-5y^2,\\ (u+v)(u+2v) & =x^2-5z^2. \end{align*}$$

Javasolta: Szabó Barnabás (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

Tegyük fel, hogy létezik a csupa $\displaystyle 0$-tól különböző megoldás. Vegyük ezen megoldások közül azt, amire a változók abszolút értékeinek összege minimális.

Tegyük fel, hogy $\displaystyle u, v$ páros. Ekkor ha $\displaystyle x$ páros, akkor $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ is páros kell, hogy legyen, de ekkor leoszthatnánk minden változót $\displaystyle 2$-vel, és egy kisebb megoldást kapnánk, ellentmondás.

Ha $\displaystyle x$ páratlan, akkor $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ is páratlan kell, hogy legyen. Ekkor $\displaystyle x^2-5y^2,x^2-5z^2$ mindegyike $\displaystyle 8k+4$ alakú vagyis az első egyenlet miatt $\displaystyle u=2a,v=2b$, ahol $\displaystyle a,b$ páratlanok, de ekkor $\displaystyle (u+v)(u+2v)=4(a+b)(a+2b)$ osztható $\displaystyle 8$-cal, ellentmondás. Tehát nem lehet $\displaystyle u$ és $\displaystyle v$ is páros.

Tegyük fel, hogy $\displaystyle u$ páros és $\displaystyle v$ páratlan. Ekkor $\displaystyle u$ és $\displaystyle u+2v$ is páros, tehát $\displaystyle x^2-5y^2$ és $\displaystyle x^2-5z^2$ is páros, ami csak úgy lehet, ha $\displaystyle 4$-gyel is oszthatók. Tehát $\displaystyle 4|uv$ és $\displaystyle v$ páratlan, tehát $\displaystyle 4|u$. De ekkor $\displaystyle 4\nmid u+2v$, $\displaystyle u+v$ pedig páratlan, így $\displaystyle x^2-5z^2$ nem lehetne $\displaystyle 4$-gyel osztható, ellentmondás. Tehát ez is lehetetlen, azaz $\displaystyle u$ csak páratlan lehet.

Ha az $\displaystyle u, v, u+v, u+2v$ értékek közül legalább kettő páros, az azt jelentené, hogy $\displaystyle u$ páros. Ugyanis vagy $\displaystyle u$ vagy $\displaystyle u+2v$ a kettő között van, vagy pedig $\displaystyle v$ és $\displaystyle u+v$ a két páros, amiből szintén következik, hogy $\displaystyle u$ páros. Tehát az $\displaystyle u, v, u+v, u+2v$ értékek közül legfeljebb egy páros lehet.

Ha $\displaystyle u, v, u+v$ és $\displaystyle u+2v$ bármelyike osztható $\displaystyle 5$-tel, akkor az őt tartalmazó egyenlet jobb oldala is osztható lesz $\displaystyle 5$-tel, tehát $\displaystyle 5|x$. Ekkor mindkét egyenlet jobb oldala osztató $\displaystyle 5$-tel, így $\displaystyle u$ és $\displaystyle v$ illetve $\displaystyle u+v$ és $\displaystyle u+2v$ közt is van $\displaystyle 5$-tel osztható. Ez csak úgy lehet, ha $\displaystyle u$ és $\displaystyle v$ is osztható $\displaystyle 5$-tel. Ekkor viszont mindkét egyenlet bal oldala osztható $\displaystyle 25$-tel, tehát $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ is osztható $\displaystyle 5$-tel. De így minden változót leoszthatnánk $\displaystyle 5$-tel és kisebb megoldást kapnánk, ellentmondás. Tehát $\displaystyle u, v, u+v$ és $\displaystyle u+2v$ egyike sem osztható $\displaystyle 5$-tel.

A következő állítás nagyon hasznos lesz: Ha $\displaystyle p$ páratlan prím, melyre $\displaystyle p\ |\ x^2-5y^2$ és $\displaystyle p$ nem osztója $\displaystyle x,y$-nak akkor $\displaystyle p$ $\displaystyle 5k\pm 1$ alakú. Ennek oka, hogy $\displaystyle (xy^{-1})^2\equiv 5\ \ (\bmod p)$, így $\displaystyle 5$ kvadratikus maradék modulo $\displaystyle p$. Így a kvadratikus reciprocitási tétel szerint $\displaystyle p$ kvadratikus maradék modulo $\displaystyle 5$ mivel $\displaystyle 5$ $\displaystyle 4k+1$ alakú prím.

Ha $\displaystyle x$-nek és $\displaystyle y$-nak van egy $\displaystyle 2$-től különböző, $\displaystyle 5k\pm 2$ alakú közös $\displaystyle p$ prímtényezője, akkor $\displaystyle p$ páros kitevőn osztja $\displaystyle x^2-5y^2$-et.

Ha $\displaystyle u$ és $\displaystyle v$ mindketten oszthatók lennének $\displaystyle p$-vel, akkor minden változót leoszthatnánk $\displaystyle p$-vel, ellentmondás. Ha csak az egyik osztható $\displaystyle p$-vel, akkor az $\displaystyle p$ egy párosadik hatványával osztható, ami $\displaystyle 5k\pm 1$ alakú. Ugyanez elmondható arról, hogy $\displaystyle u+v$ és $\displaystyle u+2v$ csak a párosadik hatványaival lehetnek oszthatók $\displaystyle x$ és $\displaystyle z$ közös $\displaystyle 5k\pm 2$ alakú páratlan prímtényezőinek.

Tegyük fel, hogy az $\displaystyle u, v, u+v$ és $\displaystyle u+2v$ számok valamelyike $\displaystyle 5k\pm 2$ alakú. Most láttuk be, hogy az $\displaystyle x$-szel közös $\displaystyle 5k\pm 2$ alakú páratlan prímtényezői páros hatványon szerepelnek, így $\displaystyle 5k\pm 1$ alakú tényezőt alkotnak. A kvadratikus reciprocitás segítségével beláttuk, hogy az $\displaystyle x$-et nem osztó páratlan prímosztói $\displaystyle 5k\pm 1$ alakúak, mert $\displaystyle u, v, u+v$ és $\displaystyle u+2v$ mindegyike osztója $\displaystyle x^2-5y^2$-nek vagy $\displaystyle x^2-5z^2$-nek. Tehát csak úgy lehet egy ilyen szám $\displaystyle 5k\pm 2$ alakú, ha osztható egy páros prímmel, $\displaystyle 2$-vel.

Tudjuk, hogy az $\displaystyle u, v, u+v$ és $\displaystyle u+2v$ számok között legfeljebb egy páros van. Ebből tehát az következik, hogy legfeljebb egy van közöttük, ami $\displaystyle 5k\pm 2$ alakú. Azt is tudjuk, hogy egyik sem ad $\displaystyle 0$ maradékot $\displaystyle 5$-tel osztva, tehát a négy szám közül legalább háromnak $\displaystyle 1$ vagy $\displaystyle -1$ a maradéka. Ekkor $\displaystyle u, v, u+v$ és $\displaystyle u+2v$ közül kettő maradéka megegyezik: könnyen látható, hogy a különbségüket véve ez mindig azt jelenti, hogy $\displaystyle u$ vagy $\displaystyle v$ osztható $\displaystyle 5$-tel, ami ellentmondás.

Az egyetlen kivétel, ha $\displaystyle u$ és $\displaystyle v$ a két megegyező maradékú, és ez a maradék $\displaystyle 1$ vagy $\displaystyle -1$. Ekkor viszont $\displaystyle u+v$ és $\displaystyle u+2v$ is $\displaystyle 5k\pm 2$ alakú, ami megint ellentmondás.

Ezzel minden esetben ellentmondásra jutottunk, tehát $\displaystyle u=v=x=y=z=0$ kivételével nincs egész megoldása az egyenletnek.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.

7 pontot kapott: Bodor Mátyás, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Selim Cadîr, Simon László Bence, Varga Boldizsár, Wiener Anna.

6 pontot kapott: Lincoln Liu.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 8 versenyző.

A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai

19 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Selim Cadîr, Simon László Bence, Varga Boldizsár, Wiener Anna.
6 pontot kapott:	Lincoln Liu.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?