Az A. 864. feladat (2023. november)

A. 864. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy tetszőleges háromszög, \(\displaystyle O\) pedig a körülírt körének a középpontja. Legyen \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontja a \(\displaystyle BC\), a \(\displaystyle CA\), illetve az \(\displaystyle AB\) oldalon. Legyen \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle AB\), illetve az \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontja. Legyen \(\displaystyle M'\), illetve \(\displaystyle N'\) az \(\displaystyle M\), illetve az \(\displaystyle N\) tükörképe a \(\displaystyle DE\), illetve a \(\displaystyle DF\) egyenesre. A \(\displaystyle CM'\), illetve a \(\displaystyle BN'\) egyenes a \(\displaystyle DE\), illetve a \(\displaystyle DF\) egyenest messe a \(\displaystyle H\), illetve a \(\displaystyle J\) pontban.

Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle H\), \(\displaystyle J\) és \(\displaystyle O\) egy egyenesre esik.

Javasolta: Luu Dong (Vietnám)

(7 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Legyen \(\displaystyle I\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja. Legyen \(\displaystyle X\) az \(\displaystyle MN\) és \(\displaystyle CH\) egyenesek metszéspontja. Legyen \(\displaystyle Y\) a \(\displaystyle BI\) és \(\displaystyle DE\) egyenesek metszéspontja. Legyen \(\displaystyle Z\) a \(\displaystyle CI\) és \(\displaystyle DF\) egyenesek metszéspontja. Jelölje \(\displaystyle K\) a \(\displaystyle DEF\) háromszög magasságpontját. Végül legyen \(\displaystyle G\) az \(\displaystyle DE\) szakasz felezőpontja. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögeit a szokásos \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\)-val jelöljük.

Három ismert lemmával és a bizonyításaik vázlatával kezdjük a megoldást.

1. Lemma: A \(\displaystyle Z\) pont az \(\displaystyle MN\) egyenesre esik és \(\displaystyle AZC \sphericalangle=90^\circ\).

Bizonyítás vázlat: Szögszámolásból \(\displaystyle \frac{\alpha}{2}= FZI \sphericalangle= FAI \sphericalangle\), tehát \(\displaystyle A, Z, F, I\) egy körön vannak. Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle AZC \sphericalangle= AFI \sphericalangle=90^\circ\). Így \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle AZC\) kör középpontja, tehát \(\displaystyle CZN \sphericalangle= NCZ \sphericalangle= ZCB \sphericalangle\), tehát \(\displaystyle ZN \parallel BC\), ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle ZN\) egyenesen van.

2. Lemma: \(\displaystyle K\), \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle O\) egy egyenesen vannak.

Bizonyítás vázlat: Legyenek \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög hozzáírt köreinek középpontjai. A \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög oldalai párhuzamosak a \(\displaystyle DEF\) háromszög oldalaival, tehát létezik egy középpontos hasonlóság (negatív aránnyal), amely \(\displaystyle A'B'C'\)-t \(\displaystyle DEF\)-be viszi. Ez azt jelenti, hogy a két háromszög Euler-egyenese párhuzamos. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle I\) a \(\displaystyle DEF\) háromszög köréírt körének középpontja, és \(\displaystyle K\) a magasságpontja, tehát \(\displaystyle IK\) a \(\displaystyle DEF\) háromszög Euler-egyenese. Továbbá \(\displaystyle I\) az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög magasságpontja és \(\displaystyle O\) Feuerbach-körének középpontja, tehát \(\displaystyle IO\) az \(\displaystyle A'B'C'\) Euler-egyenese. Ebből következik a lemma állítása.

3. Lemma: \(\displaystyle 2 \cdot IG=FK\)

Bizonyítás vázlat: Tudjuk, hogy \(\displaystyle K\) a \(\displaystyle DEF\) háromszög magasságpontja, és \(\displaystyle I\) a köréírt körének középpontja. Szögszámolásból \(\displaystyle K'\), \(\displaystyle K\) tükörképe \(\displaystyle G\)-re, a \(\displaystyle DEF\) körön van, továbbá ez a pont az \(\displaystyle F\)-el átellenes pont ezen a körön. Így \(\displaystyle IG\) az \(\displaystyle FKK'\) háromszög középvonala, ami igazolja a lemmát.

Logikai szimmetriából \(\displaystyle Y\) is az \(\displaystyle MN\) egyenesre esik, mint \(\displaystyle X\) az 1. Lemma alapján. Mivel \(\displaystyle CE=CD\), ezért \(\displaystyle EN=YN\), tehát

\(\displaystyle DYM'\sphericalangle= DYM\sphericalangle= NYE\sphericalangle= YEN\sphericalangle.\)

Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle YM'\parallel EC\). Hasonlóan \(\displaystyle ZN'\parallel FB\). Könnyen látható, hogy \(\displaystyle MM'\parallel CZ\), tehát

\(\displaystyle \dfrac{YX}{YN} = \dfrac{M'X}{M'C} =\dfrac{MX}{MZ} .\)

Vegyük észre, hogy ha \(\displaystyle X'\) az \(\displaystyle N'B\) és \(\displaystyle MN\) metszéspontja, akkor hasonlóan látható, hogy

\(\displaystyle \dfrac{YX'}{YN}=\dfrac{MX'}{MZ},\)

ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle X=X'\), tehát \(\displaystyle N'\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle X\) egy egyenesen vannak. A Papposz-tételt alkalmazva a \(\displaystyle Z, X, Y, B, D\) és \(\displaystyle C\) pontokra kapjuk, hogy \(\displaystyle BX\cap DZ = J, \ CX\cap DY = H, \ BY\cap CZ = I\) egy egyenesen vannak.

Szögszámolásból \(\displaystyle AIZ\sphericalangle= FIB\sphericalangle=90^\circ-\frac{\beta}{2}\). Ezt összevetve az 1. Lemmával, az \(\displaystyle AZI\) és \(\displaystyle BFI\) háromszögek hasonlóak, tehát \(\displaystyle ZI\cdot BF = AZ\cdot IF\). A 1. Lemmát ismét felhasználva \(\displaystyle AZ=AC\cdot \sin \dfrac{\gamma}{2}\). Világos, hogy \(\displaystyle IDG\sphericalangle=\frac{\gamma}{2}\). A 3. Lemma és az 1. Lemma felhasználásával

\(\displaystyle AZ\cdot IF = AC\cdot \sin \dfrac{\gamma}{2} \cdot ID= 2ZN \cdot \sin ({IDG\sphericalangle}) \cdot ID= 2ZN'\cdot IG =ZN'\cdot FK.\)

Ebből következik, hogy \(\displaystyle ZI\cdot BF = ZN'\cdot FK.\) Tehát

\(\displaystyle \dfrac{FK}{ZI}=\dfrac{BF}{ZN'}=\dfrac{JF}{JZ}.\)

Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle J, K\) és \(\displaystyle I\) pontok egy egyenesen vannak. Korábban bizonyítottuk, hogy \(\displaystyle J, H\) és \(\displaystyle I\) egy egyenesen vannak, és a 2. Lemma szerint \(\displaystyle K, I\) és \(\displaystyle O\) is egy egyenesen vannak. Ezeket összevetve \(\displaystyle J, K, I, H\) és \(\displaystyle O\) mind egy egyenesen vannak, ami befejezi a bizonyítást.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Philip Stefanov, Simon László Bence, Tianyue DAI, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai