Az A. 867. feladat (2023. december)

A. 867. Legyen $\displaystyle p(x)$ egy $\displaystyle n$-edfokú, 1 főegyütthatójú, egész együtthatós polinom, melynek $\displaystyle n$ darab valós gyöke van: $\displaystyle \alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_n$. Legyen $\displaystyle q(x)$ egy tetszőleges egész együtthatós polinom, amely relatív prím a $\displaystyle p(x)$ polinomhoz (azaz nincs olyan nem konstans 1 vagy $\displaystyle -1$, egész együtthatós polinom, mely $\displaystyle p(x)$-et és $\displaystyle q(x)$-et is osztja). Bizonyítsuk be, hogy

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \big|q(\alpha_i)\big|\ge n.$

Javasolta: Matolcsi Dávid (Berkeley)

(7 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Vegyük észre, hogy

$\displaystyle \prod_{i=1}^{n} q(x_i)$

egy egész együtthatós szimmetrikus polinomja az $\displaystyle x_i$ változóknak, hiszen bármely két változójának felcserélésével ugyanazt a polinomot kapjuk vissza. Így a szimmetrikus polinomok alaptétele szerint kifejezhető az $\displaystyle x_i$ változók elemi szimmetrikus polinomjainak egész együtthatós polinomjaként.

Mivel $\displaystyle p(x)$ egy $\displaystyle 1$ főegyütthatós polinom, ezért a Viéta-formulák szerint a gyökeinek elemi szimmetrikus polinomjai éppen $\displaystyle p$ együtthatói, megfelelő előjellel. A $\displaystyle p$ együtthatói mind egészek, tehát az $\displaystyle \alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_n$ gyökök elemi szimmetrikus polinomjai egész értékeket vesznek föl. Ezt a fentiekkel összevetve $\displaystyle \prod_{i=1}^{n} q(\alpha_i)$ értéke is egész.

Jól ismert állítás, hogy az algebrai számok minimálpolinomja minden olyan racionális együtthatós polinomot oszt, melynek az adott algebrai szám a gyöke. Ezek alapján ha $\displaystyle p$-nek és $\displaystyle q$-nak lenne közös gyöke, akkor annak minimálpolinomja mindkettőt osztaná a racionális együtthatós polinomok körében, ekkor viszont a Gauss-lemma alapján az egész együtthatós polinomok körében sem lehetnének relatív prímek. Így tehát $\displaystyle \prod_{i=1}^{n} q(\alpha_i)$ nem $\displaystyle 0$, viszont egész, tehát abszolút értéke legalább $\displaystyle 1$.

A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség miatt

$\displaystyle 1\le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} |q(\alpha_i)|}\le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |q(\alpha_i)|,$

tehát

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} |q(\alpha_i)|\ge n.$

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Duchon Márton, Simon László Bence, Szakács Ábel, Varga Boldizsár.
6 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Fleischman Illés, Nguyen Kim Dorka, Wiener Anna.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai