Az A. 867. feladat (2023. december)

A. 867. Legyen \(\displaystyle p(x)\) egy \(\displaystyle n\)-edfokú, 1 főegyütthatójú, egész együtthatós polinom, melynek \(\displaystyle n\) darab valós gyöke van: \(\displaystyle \alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_n\). Legyen \(\displaystyle q(x)\) egy tetszőleges egész együtthatós polinom, amely relatív prím a \(\displaystyle p(x)\) polinomhoz (azaz nincs olyan nem konstans 1 vagy \(\displaystyle -1\), egész együtthatós polinom, mely \(\displaystyle p(x)\)-et és \(\displaystyle q(x)\)-et is osztja). Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \big|q(\alpha_i)\big|\ge n. \)

Javasolta: Matolcsi Dávid (Berkeley)

(7 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Vegyük észre, hogy

\(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} q(x_i)\)

egy egész együtthatós szimmetrikus polinomja az \(\displaystyle x_i\) változóknak, hiszen bármely két változójának felcserélésével ugyanazt a polinomot kapjuk vissza. Így a szimmetrikus polinomok alaptétele szerint kifejezhető az \(\displaystyle x_i\) változók elemi szimmetrikus polinomjainak egész együtthatós polinomjaként.

Mivel \(\displaystyle p(x)\) egy \(\displaystyle 1\) főegyütthatós polinom, ezért a Viéta-formulák szerint a gyökeinek elemi szimmetrikus polinomjai éppen \(\displaystyle p\) együtthatói, megfelelő előjellel. A \(\displaystyle p\) együtthatói mind egészek, tehát az \(\displaystyle \alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_n\) gyökök elemi szimmetrikus polinomjai egész értékeket vesznek föl. Ezt a fentiekkel összevetve \(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} q(\alpha_i)\) értéke is egész.

Jól ismert állítás, hogy az algebrai számok minimálpolinomja minden olyan racionális együtthatós polinomot oszt, melynek az adott algebrai szám a gyöke. Ezek alapján ha \(\displaystyle p\)-nek és \(\displaystyle q\)-nak lenne közös gyöke, akkor annak minimálpolinomja mindkettőt osztaná a racionális együtthatós polinomok körében, ekkor viszont a Gauss-lemma alapján az egész együtthatós polinomok körében sem lehetnének relatív prímek. Így tehát \(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} q(\alpha_i)\) nem \(\displaystyle 0\), viszont egész, tehát abszolút értéke legalább \(\displaystyle 1\).

A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség miatt

\(\displaystyle 1\le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} |q(\alpha_i)|}\le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |q(\alpha_i)|,\)

tehát

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} |q(\alpha_i)|\ge n.\)

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Duchon Márton, Simon László Bence, Szakács Ábel, Varga Boldizsár.
6 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Fleischman Illés, Nguyen Kim Dorka, Wiener Anna.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai