Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 868. feladat (2023. december)

A. 868. Egy síkbeli ponthalmazt diszharmonikusnak nevezünk, ha bármely két, a pontok által meghatározott távolság aránya vagy 100/101 és 101/100 közé esik, vagy pedig legalább 100 vagy legfeljebb 1/100.

Igaz-e, hogy tetszőleges síkbeli, különböző A1,A2,,An pontok esetén lehet találni olyan A1,A2,,An pontokat, melyek diszharmonikus ponthalmazt alkotnak, továbbá Ai, Aj és Ak pontosan akkor esnek ebben a sorrendben egy egyenesre, ha Ai, Aj és Ak ebben a sorrendben egy egyenesre esnek (minden különböző 1i,j,kn számhármas esetén).

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör és Keszegh Balázs (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.


Az állítás nem igaz.

Az ötlet az, hogy egy olyan ponthalmazt veszünk, amiben olyan sok az illeszkedés, hogy minden illeszkedéstartó leképzésnek egy projektív transzformációnak kell lennie, ami kettősviszony-tartó, és egy diszharmonikus ponthalmazban nem lehet harmonikus pontnégyes, míg az eredeti ponthalmazban igen.

Lemma: Ha D,A,C,B egy diszharmonikus ponthalmaz különböző pontjai egy egyenesen ilyen sorrendben, akkor nem lehet (A,B;C,D)=1, azaz nem lehet harmonikus a pontnégyes.

Bizonyítás: Indirekten tegyük fel az állítás tagadását. Legyen DA=a, AC=b, CB=c (ahol a,b,c>0). Ekkor a feltétel az, hogy ACCB=DADB, azaz ac=b(a+b+c). Ebből azonnal adódik, hogy ba és bc, továbbá a és c szerepe szimmetrikus, így feltehetjük, hogy bac. Ha a1,01b, akkor 2a+bb=DCAC2,01, ami nem lehet egy diszharmonikus ponthalmazban. Így 100bac. Legyen a=xb és c=yb ahol 100xy. Ezt az egyenletbe beírva és b2-tel osztva azt kapjuk, hogy xy=x+y+1. Azonban világos, hogy ez nem lehet, mert x+y+1<100yxy. Ellentmondás, így a lemma állítása igaz.

Tekintsük az alábbi ábrát, amit a következőképpen kaphatunk meg. Legyen ABCD egy konvex négyszög. Legyen E az AB és CD, F az AD és BC, G az AC és BD egyenesek metszéspontja. Végül legyen H, I, J, K rendre az EG és AD, FG és AB, EG és BC, FG és CD egyenesek metszéspontja.

Azt állítjuk, hogy az ábrán megjelölt 11 ponthoz nem található megfelelő diszharmonikus halmaz.

Indirekten tegyük fel, hogy található ilyen, és jelöljük az eredeti pontokhoz megfeleltetett pontokat a diszharmonikus halmazban vesszővel, azaz például A párja A. Figyeljük meg, hogy a feladat feltétele szerint ABCD továbbra is egy négyszög, amiből meg lehet kapni az összes többi pontot ugyanazzal a módszerrel, ahogy fent is megkaptuk az ábrát: E az AB és CD, F az AD és BC, G az AC és BD egyenesek metszéspontja. Majd H, I, J, K rendre az EG és AD, FG és AB, EG és BC, FG és CD egyenesek metszéspontja.

Ismert, hogy bármelyik négy általános helyzetű pont a síkon (egyértelműen) átvihető bármely másik négy általános helyzetű pontba egy projektív transzformációval. Tekintsük azt a projektív transzformációt, ami az A, B, C és D pontokat rendre az A, B, C és D pontokba viszi. A projeketív transzformációk illeszkedéstartóak, így a fent (már kétszer leírt) módon a többi pont képe ugyanúgy megszerkeszthető az A, B, C és D pontok képéből. Emiatt, mivel A, B, C és D képe megegyezett a projektív transzformációnál és a diszharmonikus ponthalmaznál, és ezekből pont ugyanúgy kaptuk meg a többi pontot, azt kapjuk, hogy a projektív transzformáció éppen az, ami az eredei pontokat a vesszős pontokba viszi. Ismert, hogy (E,G;H,J) pontnégyes harmonikus, azaz (E,G;H,J) is az, mivel a projektív transzformációk megtartják a kettősviszonyt, és ez ellentmondás, mert egy diszharmonikus ponthalmazban nincs harmonikus pontnégyes.


Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:Varga Boldizsár, Wiener Anna.
0 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai