Az A. 871. feladat (2024. január)

A. 871. Az \(\displaystyle ABC\) tompaszögű háromszögnek \(\displaystyle H\) a magasságpontja. Jelölje \(\displaystyle \omega_A\) az \(\displaystyle A\) középpontú, \(\displaystyle AH\) sugarú kört, \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \omega_C\) hasonlóan vannak definiálva. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjának minden \(\displaystyle X\) pontjára definiáljuk az \(\displaystyle \Omega(X)\) kört a következőképpen (ha értelmezhető): vegyük \(\displaystyle X\) polárisait az \(\displaystyle \omega_A\), \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \omega_C\) körökre nézve, és legyen \(\displaystyle \Omega(X)\) a három egyenes által alkotott háromszög körülírt köre.

Keressük meg (esetleg véges sok kivétellel) azoknak az \(\displaystyle X\) pontoknak a halmazát a síkon, amelyekre \(\displaystyle X\) rajta van \(\displaystyle \Omega(X)\)-en.

Javasolta: Molnár-Szabó Vilmos (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Jelölje \(\displaystyle X_A\), \(\displaystyle X_B\) és \(\displaystyle X_C\) az \(\displaystyle X\) pont inverz képét az \(\displaystyle \omega_A\), \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \omega_C\) körökre, és legyen \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\) a \(\displaystyle H\) magasságpont tükörképe a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalakra (jól ismert, hogy ezek a körülírt körön vannak). Könnyen megállapítható, hogy pl. \(\displaystyle A'\) rajta van \(\displaystyle \omega_B\)-n és \(\displaystyle \omega_C\)-n is, hiszen az egyik metszéspontjuk \(\displaystyle H\), a centrálisuk pedig \(\displaystyle BC\). Most bebizonyítjuk, hogy az \(\displaystyle XX_AX_B\) háromszög körülírt köre a \(\displaystyle HC'\) Apollóniusz köre.

Felhasználjuk azt az ismert állítást, hogy az inverzió alapköre egy pont és inverz képének az apollóniusz-köre. Ezek alapján \(\displaystyle \omega_A\) az \(\displaystyle XX_A\) szakasz apollóniusz köre, \(\displaystyle \omega_B\) az \(\displaystyle XX_B\) apollóniusz köre. A kettő metszéspontja \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle C'\), így \(\displaystyle HX/HX_A=C'X/C'X_A\) és \(\displaystyle HX/HX_B=C'X/C'X_B\). Átrendezve ezeket kapjuk, hogy \(\displaystyle HX/C'X=HX_A/C'X_A=HX_B/C'X_B\), azaz \(\displaystyle X\), \(\displaystyle X_A\) és \(\displaystyle X_B\) rajta van \(\displaystyle HC'\) apollóniusz körén, ahogy állítottuk. Jelölje az \(\displaystyle XX_AX_B\) háromszög körülírt körének a középpontját \(\displaystyle O_C\), \(\displaystyle O_A\) és \(\displaystyle O_B\) hasonlóan van definiálva.

Most tekintsünk egy olyan \(\displaystyle H\) középpontú inverziót, amely \(\displaystyle A\)-t \(\displaystyle A'\)-be, \(\displaystyle B\)-t \(\displaystyle B'\)-be és \(\displaystyle C\)-t \(\displaystyle C'\)-be viszi. Absztrakt értelemben mindig van ilyen inverzió (képzetes sugarú körrel), de hagyományos értelemben éppen akkor van, ha \(\displaystyle H\) kívül van \(\displaystyle ABC\) körülírt körén, azaz a háromszög tomapszögű. Ebben az esetben jelölje \(\displaystyle k\) az inverzió alapkörét, és \(\displaystyle X\) képe ennél az inverziónál legyen \(\displaystyle X'\).

A feladatra térve ismert állítás, hogy \(\displaystyle X\) polárisa \(\displaystyle \omega_A\) -ra nézve az \(\displaystyle XH\)-ra állított merőleges az \(\displaystyle X_A\) pontban. Hasonló a helyzet \(\displaystyle \omega_B\) esetén is, azaz a két poláris metszéspontja éppen az \(\displaystyle XX_AX_B\) körülírt körének az \(\displaystyle X\) ponttal szemközti pontja (a Thálész-tétel alapján). Ha az \(\displaystyle X\) pontból a felére kicsinyítjük az ábrát, akkor a feladat feltétele átalakul azzá, hogy \(\displaystyle X\), \(\displaystyle O_A\), \(\displaystyle O_B\) és \(\displaystyle O_C\) egy körre esnek. Írányított szögekel modulo \(\displaystyle 180^{\circ}\) számolva azt kapjuk, hogy a feltétel ekivivalens azzal, hogy \(\displaystyle O_CXO_B\sphericalangle=O_CO_AO_B\sphericalangle\). Próbáljunk meg valamit kezdeni ezekkel a szögekkel.

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle O_AO_C\) merőleges \(\displaystyle XB\)-re: az \(\displaystyle XX_BX_C\) és \(\displaystyle XX_AX_B\) egymást \(\displaystyle X\)-ben és \(\displaystyle X_B\)-ben metszi, azaz \(\displaystyle XX_B\) merőleges a két kör centrálisára, de \(\displaystyle X\), \(\displaystyle X_B\) és \(\displaystyle B\) egy egyenesre esnek, hiszen \(\displaystyle X_B\) az \(\displaystyle X\) inverz képe a \(\displaystyle B\) középpontú \(\displaystyle \omega_B\) körre nézve. Hasonlóan \(\displaystyle O_AO_B\) és \(\displaystyle XC\) is merőleges, azaz \(\displaystyle O_CO_AO_B\sphericalangle=BXC\sphericalangle\) (továbbra is előjelesen, modulo \(\displaystyle 180^{\circ}\) számolva).

Most vizsgáljuk meg az \(\displaystyle O_CXO_B\sphericalangle\) szöget. \(\displaystyle O_CXO_B\sphericalangle=HXO_B\sphericalangle-HXO_C\sphericalangle\). A \(\displaystyle HXO_B\sphericalangle\) szög vizsgálatánál arra támaszkodunk, hogy korábban láttuk, hogy az \(\displaystyle XX_AX_C\) kör a \(\displaystyle HB'\) Apollóniusz-köre, melynek középpontja \(\displaystyle O_B\), és így jól ismert (és az ábrán könnyen ellenőrizhető) módon \(\displaystyle HXO_B\sphericalangle = O_BB'X\sphericalangle = HB'X\sphericalangle\).

Végül \(\displaystyle H\) középponttal invertálva a \(\displaystyle k\) körre adódik, hogy \(\displaystyle HB'X\sphericalangle = - HX'B \sphericalangle\), hiszen \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle B'\) egymás inverz képe erre a körre. Így végül \(\displaystyle O_CXO_B\sphericalangle=HXO_B\sphericalangle-HXO_C\sphericalangle= HB'X\sphericalangle - HC'X\sphericalangle = \\ = HX'C\sphericalangle - HX'B\sphericalangle = BX'C\sphericalangle\).

Az előző két bekezdést összevetve tehát \(\displaystyle BXC\sphericalangle = BX'C\sphericalangle\), ami pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle X'\) egy körre esnek. Ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle X=X'\), azaz \(\displaystyle X\) rajta van a \(\displaystyle k\) körön, egyébként pedig, mivel az \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle X'\) ponton átmenő körök merőlegesek \(\displaystyle k\)-ra (az inverzió invariáns körei), és a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) ponton átmenő fix kör éppen az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre, ezért pontosan akkor, ha \(\displaystyle X\) rajta van ezen a körön.

Azaz a feladat kérdésére a válasz: az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre és a \(\displaystyle H\) középpontú, erre merőleges kör. Megjegyezzük, hogy ez a válasz hegyesszögű háromszögre is helyes, csak az utóbbi kör nem létezik, azaz ilyenkor csak az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre elégíti ki a feladat feltételeit.

Megjegyzés: a \(\displaystyle k\) körre való invertálásnál az \(\displaystyle \omega_A\) kör képe éppen a \(\displaystyle BC\) egyenes lesz, így az \(\displaystyle \omega_A\)-ra való invertálásból \(\displaystyle BC\)-re való tükrözés lesz. A Simson-tétel miatt a feladat feltétele ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle X_A\), \(\displaystyle X_B\) és \(\displaystyle X_C\) egy egyenesre esnek, azaz az invertálás után ebből az lesz, hogy \(\displaystyle X'\) tükörképei az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalegyeneseire és a \(\displaystyle H\) pont egy körre vagy egyenesre esnek. Jól ismert, hogy a körülírt kör pontjainak tükörképei egy \(\displaystyle H\)-n átmenő egyenesre esnek, így ebből adódik, hogy ha \(\displaystyle X'\) rajta van a körülírt körön, akkor kielégíti a feladat feltételeit, de mivel a körülírt kör a \(\displaystyle k\)-ra való inverzió invariáns köre, ezért ez pontosan akkor igaz, ha \(\displaystyle X\) rajta van a körülírt körön: ezzel a válasz könnyebbik felét megkaptuk.

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Varga Boldizsár, Wiener Anna.
6 pontot kapott:	Foris Dávid.
5 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai