Az A. 873. feladat (2024. február)

A. 873. Az \(\displaystyle ABCD\) egy konvex húrnégyszög, melyben \(\displaystyle AB\cdot CD=AD\cdot BC\) teljesül. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle I\) középpontú \(\displaystyle \omega\) beírt köre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre az \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\) pontokban érinti. Legyen \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle ID\) egyenes és az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög Feuerbach-körének azon metszéspontja, amely az \(\displaystyle ID\) szakasz belsejében van.

Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle S\) az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög súlypontja, akkor az \(\displaystyle SK\) egyenes és a \(\displaystyle BB'\) egyenes \(\displaystyle \omega\)-n metszi egymást.

Javasolta Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Azokat \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögeket, melyekben a szemközti oldalak szorzata egyenlő, harmonikusnak nevezik. A harmonikus húrnégyszögek legfontosabb geometriai tulajdonsága a következő: egy négyszög akkor és csak akkor harmonikus, ha a szemközti csúcsaiban a körülírt köréhez húzott érintők metszéspontja rajta van a másik két csúcs által alkotott átlón, vagy mind párhuzamosak.

Ezt a jól ismert állítást nem nehéz belátni az érintő szárú kerületi szögek tételével: ha az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle C\) csúcsban húzott érintők metszéspontja \(\displaystyle T\), és ezen átmegy a \(\displaystyle BD\) átló, akkor az \(\displaystyle DAT\) és az \(\displaystyle ABT\) háromszögek hasonlók, így \(\displaystyle DA/AB=AT/BT\), és hasonlóan belátható, hogy \(\displaystyle CD/BC=CT/BT\). Mivel \(\displaystyle CT=AT\) az érintőszakaszok egyenlősége miatt, így \(\displaystyle DA/AB=CD/BC\), és ebből éppen \(\displaystyle AB\cdot BC = BC \cdot DA\) adódik. Innen már a megfordítás is könnyen adódik, ha felvesszük azt a \(\displaystyle D'\) pontot, ahol a \(\displaystyle BT\) egyenes metszi a kört, és alkalmazzuk az előzőeket.

(Ha a két érintő és \(\displaystyle BD\) párhuzamos, akkor \(\displaystyle ABCD\) deltoid, ami könnyen láthatóan kielégíti a harmonikusság feltételét.)

Arra lesz még szükségünk, hogy egy harmonikus négyszög inverz képe is harmonikus. Mivel az inverzió kettősviszonytartó, és a körön az \(\displaystyle (A,C,B,D)\) kettősviszony az egyeneshez hasonlóan az \(\displaystyle AB/BC\cdot DB/AD\) képlettel van értelmezve (a megfelelő előjellel: pontosan akkor legyen negatív, ha az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) húrok metszik egymást), így innen azonnal készen vagyunk. A kettősviszonytartást nem nehéz kövezvetlenül belátni: ha \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) képe \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\), az inverzió középpontja pedig \(\displaystyle O\), akkor jól ismert, hogy \(\displaystyle AB/A'B'=OA/OB'\), és így \(\displaystyle A'B'/B'C' = AB/BC \cdot OB'/OA \cdot OC/OB'=AB/BC\cdot OC/OA\), és hasonló adódik a \(\displaystyle B\) pontot a \(\displaystyle D\) pontra cserélve, amiből kijött a kettősviszonytartás.

Ezután térjünk rá a feladatra.

Invertáljunk a beírt körre. Ennél az inverziónál \(\displaystyle A\) képe a \(\displaystyle B'C'\) szakasz felezőpontja, az \(\displaystyle A^*\) pont (ez az inverzió könnyen ellenőrizhető alaptulajdonsága), hasonló a helyzet a \(\displaystyle B\) és a \(\displaystyle C\) ponttal. Így tehát az \(\displaystyle ABC\) körülírt körének képe az \(\displaystyle A^*B^*C^*\) háromszög körülírt köre, azaz az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög Feuerbach-köre. A \(\displaystyle D\) pont inverz képe rajta van egyrész az \(\displaystyle ID\) félegyensen, másrészt ezen a Feuerbach-körön is, így ez éppen a feladatbeli \(\displaystyle K\) pont.

Most alkalmazzunk az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög \(\displaystyle S\) súlypontjából \(\displaystyle -2\) arányú hasonlóságot: ekkor \(\displaystyle A^*\) képe \(\displaystyle A'\), hasonló igaz \(\displaystyle B\)-re és \(\displaystyle C\)-re, és legyen a \(\displaystyle K\) pont képe \(\displaystyle M\). Ekkor tehát \(\displaystyle M\) rajta van az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög körülírt körén, azaz \(\displaystyle \omega\)-n, és a bevezetőben említettek miatt \(\displaystyle A'B'C'M\) harmonikus ezen a körön. Így végül ennek a négyszögnek a \(\displaystyle B'M\) átlója átmegy az \(\displaystyle \omega\)-hoz az \(\displaystyle A'\)-ben és \(\displaystyle B'\)-ben húzott érintők metszéspontján, azaz \(\displaystyle B\)-n, és éppen ez volt a bizonyítandó.

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Foris Dávid, Holló Martin, Nguyen Kim Dorka, Philip Stefanov, Simon László Bence, Szakács Ábel, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna.
6 pontot kapott:	Forrai Boldizsár.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai