 |
Az A. 873. feladat (2024. február) |
A. 873. Az ABCD egy konvex húrnégyszög, melyben AB⋅CD=AD⋅BC teljesül. Az ABC háromszög I középpontú ω beírt köre a BC, CA és AB oldalakat rendre az A′, B′ és C′ pontokban érinti. Legyen K az ID egyenes és az A′B′C′ háromszög Feuerbach-körének azon metszéspontja, amely az ID szakasz belsejében van.
Mutassuk meg, hogy ha S az A′B′C′ háromszög súlypontja, akkor az SK egyenes és a BB′ egyenes ω-n metszi egymást.
Javasolta Bán-Szabó Áron (Budapest)
(7 pont)
A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.
Azokat ABCD húrnégyszögeket, melyekben a szemközti oldalak szorzata egyenlő, harmonikusnak nevezik. A harmonikus húrnégyszögek legfontosabb geometriai tulajdonsága a következő: egy négyszög akkor és csak akkor harmonikus, ha a szemközti csúcsaiban a körülírt köréhez húzott érintők metszéspontja rajta van a másik két csúcs által alkotott átlón, vagy mind párhuzamosak.
Ezt a jól ismert állítást nem nehéz belátni az érintő szárú kerületi szögek tételével: ha az A és a C csúcsban húzott érintők metszéspontja T, és ezen átmegy a BD átló, akkor az DAT és az ABT háromszögek hasonlók, így DA/AB=AT/BT, és hasonlóan belátható, hogy CD/BC=CT/BT. Mivel CT=AT az érintőszakaszok egyenlősége miatt, így DA/AB=CD/BC, és ebből éppen AB⋅BC=BC⋅DA adódik. Innen már a megfordítás is könnyen adódik, ha felvesszük azt a D′ pontot, ahol a BT egyenes metszi a kört, és alkalmazzuk az előzőeket.
(Ha a két érintő és BD párhuzamos, akkor ABCD deltoid, ami könnyen láthatóan kielégíti a harmonikusság feltételét.)
Arra lesz még szükségünk, hogy egy harmonikus négyszög inverz képe is harmonikus. Mivel az inverzió kettősviszonytartó, és a körön az (A,C,B,D) kettősviszony az egyeneshez hasonlóan az AB/BC⋅DB/AD képlettel van értelmezve (a megfelelő előjellel: pontosan akkor legyen negatív, ha az AC és BD húrok metszik egymást), így innen azonnal készen vagyunk. A kettősviszonytartást nem nehéz kövezvetlenül belátni: ha A, B, C és D képe A′, B′, C′ és D′, az inverzió középpontja pedig O, akkor jól ismert, hogy AB/A′B′=OA/OB′, és így A′B′/B′C′=AB/BC⋅OB′/OA⋅OC/OB′=AB/BC⋅OC/OA, és hasonló adódik a B pontot a D pontra cserélve, amiből kijött a kettősviszonytartás.
Ezután térjünk rá a feladatra.
Invertáljunk a beírt körre. Ennél az inverziónál A képe a B′C′ szakasz felezőpontja, az A∗ pont (ez az inverzió könnyen ellenőrizhető alaptulajdonsága), hasonló a helyzet a B és a C ponttal. Így tehát az ABC körülírt körének képe az A∗B∗C∗ háromszög körülírt köre, azaz az A′B′C′ háromszög Feuerbach-köre. A D pont inverz képe rajta van egyrész az ID félegyensen, másrészt ezen a Feuerbach-körön is, így ez éppen a feladatbeli K pont.
Most alkalmazzunk az A′B′C′ háromszög S súlypontjából −2 arányú hasonlóságot: ekkor A∗ képe A′, hasonló igaz B-re és C-re, és legyen a K pont képe M. Ekkor tehát M rajta van az A′B′C′ háromszög körülírt körén, azaz ω-n, és a bevezetőben említettek miatt A′B′C′M harmonikus ezen a körön. Így végül ennek a négyszögnek a B′M átlója átmegy az ω-hoz az A′-ben és B′-ben húzott érintők metszéspontján, azaz B-n, és éppen ez volt a bizonyítandó.
Statisztika:
14 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Foris Dávid, Holló Martin, Nguyen Kim Dorka, Philip Stefanov, Simon László Bence, Szakács Ábel, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna. 6 pontot kapott: Forrai Boldizsár.
A KöMaL 2024. februári matematika feladatai
|
|