 |
Az A. 877. feladat (2024. március) |
A. 877. Az ABCD konvex érintőnégyszög beírt köre ω. ω egyik AC-vel párhuzamos érintője a BD átlót a körön kívül lévő P pontban metszi. A P pontból az ω-hoz húzott másik érintő ω-t a T pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy ω és az ATC háromszög körülírt köre érintik egymást.
Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgária)
(7 pont)
A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.
1. lemma Legyen A′ egy tetszőleges pont az AC egyenesen az ω körönk kívül, és az A′-ből a körhöz húzott érintők messék a BD egyenest a B′ és a D′ pontban. A B′ és D′ pontból húzott második érintők messék egymást a C′ pontban. Ekkor a C′ pont rajta van az AC egyenesen.
A lemma szemléletes jelentése a következő: ha adott két egyenes, mely egy érintőnégyszög két átlója, akkor az egyik átló egy tetszőleges pontjából elindulva az érintő mentén visszaérünk az eredeti pontban négy lépés után, így egy másik érintőnégyszöget kapva.
Bizonyítás: Vetítsük úgy az ábrát, hogy az ω kör képe kör legyen, és az ABCD négyszög szemközti oldalainak metszéspontjai ideális pontba kerüljenek (ismeretes, hogy ez mindig megtehető: ha egy egyenesnek és egy körnek nincs közös pontja, akkor mindig van olyan vetítés, amely a kört körbe, az egyenest pedig az ideális egyenesbe viszi). Ekkor a négyszög képe egy érintő paralelogramma, amely csak rombusz lehet (hiszen szemközti oldalainak összege meg kell hogy egyezzen). Azonban a rombusz átlói merőlegesek egymásra és a kör középpontjában metszik egymást, és ekkor az állítás szimmetria okokból nyilvánvaló.
2. lemma Messe egymást az AC és BD átló az M pontban, legyen továbbá N az AC átló azon pontja, ahol az ABCD négyszög szemközti oldalait összekötő egyenes metszi az AC átlót. Ekkor A′, C′, illetve M és N harmonikusan választja el egymást.
Bizonyítás: A vetítés után N az AC ideális pontja, M pedig felezi az A′C′ szakaszt, így készen vagyunk.
3. lemma Messe az AC átló az ω kört az E és az F pontban. Ekkor az E és az F pontban húzott érintők a BD átlón metszik egymást, továbbá M, N, E és F harmonikusan választja el egymást.
Bizonyítás: A fenti vetítés ezt az állítást is bebizonyítja, hiszen a vetítés után a két érintő párhuzamos a BD átlóval, M az EF felezőpontja (a kör középpontja), N pedig az AC átló ideális pontja.
Most térjünk rá a feladatra. A PT egyenes messe az AC egyenest az A′ pontban. Ekkor a fent definiált C′ az AC egyenes ideális pontja. A fentiek miatt A′, C′ és M, N harmonikusan választják el egymást, tehát A′ felezi az MN szakaszt. Azt kell tehát belátnunk, hogy A′T2=A′A⋅A′C. Jól ismert (és egyszerű számolás mutatja) hogy ha X, Y és Z, W harmonikusan választják el egymást, akkor az XY és ZW átmérőjű körök merőlegesek egymásra, azaz ha ZW felezőpontja O, akkor OZ2=OX⋅OY. Ezért pedig A′A⋅A′C=(A′M)2=A′E⋅A′F=A′T2, és innen készen vagyunk a bizonyítandóval.
Statisztika:
6 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Philip Stefanov, Wiener Anna. 6 pontot kapott: Varga Boldizsár. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai
|
|