Az A. 877. feladat (2024. március)

A. 877. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex érintőnégyszög beírt köre \(\displaystyle \omega\). \(\displaystyle \omega\) egyik \(\displaystyle AC\)-vel párhuzamos érintője a \(\displaystyle BD\) átlót a körön kívül lévő \(\displaystyle P\) pontban metszi. A \(\displaystyle P\) pontból az \(\displaystyle \omega\)-hoz húzott másik érintő \(\displaystyle \omega\)-t a \(\displaystyle T\) pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \omega\) és az \(\displaystyle ATC\) háromszög körülírt köre érintik egymást.

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgária)

(7 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

1. lemma Legyen \(\displaystyle A'\) egy tetszőleges pont az \(\displaystyle AC\) egyenesen az \(\displaystyle \omega\) körönk kívül, és az \(\displaystyle A'\)-ből a körhöz húzott érintők messék a \(\displaystyle BD\) egyenest a \(\displaystyle B'\) és a \(\displaystyle D'\) pontban. A \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle D'\) pontból húzott második érintők messék egymást a \(\displaystyle C'\) pontban. Ekkor a \(\displaystyle C'\) pont rajta van az \(\displaystyle AC\) egyenesen.

A lemma szemléletes jelentése a következő: ha adott két egyenes, mely egy érintőnégyszög két átlója, akkor az egyik átló egy tetszőleges pontjából elindulva az érintő mentén visszaérünk az eredeti pontban négy lépés után, így egy másik érintőnégyszöget kapva.

Bizonyítás: Vetítsük úgy az ábrát, hogy az \(\displaystyle \omega\) kör képe kör legyen, és az \(\displaystyle ABCD\) négyszög szemközti oldalainak metszéspontjai ideális pontba kerüljenek (ismeretes, hogy ez mindig megtehető: ha egy egyenesnek és egy körnek nincs közös pontja, akkor mindig van olyan vetítés, amely a kört körbe, az egyenest pedig az ideális egyenesbe viszi). Ekkor a négyszög képe egy érintő paralelogramma, amely csak rombusz lehet (hiszen szemközti oldalainak összege meg kell hogy egyezzen). Azonban a rombusz átlói merőlegesek egymásra és a kör középpontjában metszik egymást, és ekkor az állítás szimmetria okokból nyilvánvaló.

2. lemma Messe egymást az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átló az \(\displaystyle M\) pontban, legyen továbbá \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle AC\) átló azon pontja, ahol az \(\displaystyle ABCD\) négyszög szemközti oldalait összekötő egyenes metszi az \(\displaystyle AC\) átlót. Ekkor \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle C'\), illetve \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) harmonikusan választja el egymást.

Bizonyítás: A vetítés után \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle AC\) ideális pontja, \(\displaystyle M\) pedig felezi az \(\displaystyle A'C'\) szakaszt, így készen vagyunk.

3. lemma Messe az \(\displaystyle AC\) átló az \(\displaystyle \omega\) kört az \(\displaystyle E\) és az \(\displaystyle F\) pontban. Ekkor az \(\displaystyle E\) és az \(\displaystyle F\) pontban húzott érintők a \(\displaystyle BD\) átlón metszik egymást, továbbá \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) harmonikusan választja el egymást.

Bizonyítás: A fenti vetítés ezt az állítást is bebizonyítja, hiszen a vetítés után a két érintő párhuzamos a \(\displaystyle BD\) átlóval, \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle EF\) felezőpontja (a kör középpontja), \(\displaystyle N\) pedig az \(\displaystyle AC\) átló ideális pontja.

Most térjünk rá a feladatra. A \(\displaystyle PT\) egyenes messe az \(\displaystyle AC\) egyenest az \(\displaystyle A'\) pontban. Ekkor a fent definiált \(\displaystyle C'\) az \(\displaystyle AC\) egyenes ideális pontja. A fentiek miatt \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) harmonikusan választják el egymást, tehát \(\displaystyle A'\) felezi az \(\displaystyle MN\) szakaszt. Azt kell tehát belátnunk, hogy \(\displaystyle A'T^2=A'A\cdot A'C\). Jól ismert (és egyszerű számolás mutatja) hogy ha \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\), \(\displaystyle W\) harmonikusan választják el egymást, akkor az \(\displaystyle XY\) és \(\displaystyle ZW\) átmérőjű körök merőlegesek egymásra, azaz ha \(\displaystyle ZW\) felezőpontja \(\displaystyle O\), akkor \(\displaystyle OZ^2 = OX\cdot OY\). Ezért pedig \(\displaystyle A'A\cdot A'C = (A'M)^2 = A'E\cdot A'F = A'T^2\), és innen készen vagyunk a bizonyítandóval.

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Philip Stefanov, Wiener Anna.
6 pontot kapott:	Varga Boldizsár.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai