 |
Az A. 878. feladat (2024. április) |
A. 878. Legyen \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle k\) körök egyik metszéspontja. Legyen \(\displaystyle X_1\) és \(\displaystyle X_2\) tetszőleges pont a \(\displaystyle c\) körön. Jelölje \(\displaystyle Y_i\) az \(\displaystyle AX_i\) egyenes második metszéspontját a \(\displaystyle k\) körrel \(\displaystyle i=1,2\) esetén. Legyen \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\) és \(\displaystyle P_3\) tetszőleges pont a \(\displaystyle k\) körön, és jelölje \(\displaystyle O\) a \(\displaystyle k\) kör középpontját.
Jelölje \(\displaystyle K_{ij}\) az \(\displaystyle X_iY_iP_j\) háromszög körülírt körének középpontját \(\displaystyle i=1\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle {j=1}\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) esetén. Legyen \(\displaystyle L_j\) az \(\displaystyle OK_{1j}K_{2j}\) háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle j=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) esetén. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle L_1\), \(\displaystyle L_2\) és \(\displaystyle L_3\) egy egyenesre esik.
Javasolta: Molnár-Szabó Vilmos (Budapest)
(7 pont)
A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.
A feladat megoldásának alapgondolata a következő állítás, amely a kerületi szögek tételének egy kevésbé ismert átfogalmazása: ha két adott pont körül ugyanakkora szögsebességgel ugyanabban az irányban forgatunk egy-egy egyenest, akkor a két forgó egyenes metszéspontjai egy kört fognak leírni, mely átmegy a két rögzített ponton.
Állítás: Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle c\) körön, \(\displaystyle Y\) az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) körön úgy, hogy \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és a két kör metszéspontja, az \(\displaystyle A\) pont egy egyenesre essen. Legyen \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle k\) kör tetszőleges pontja. Ekkor az \(\displaystyle X\) pontot a \(\displaystyle c\) körön mozgatva (a \(\displaystyle P\) pontot fixen tartva) a \(\displaystyle PXY\) kör \(\displaystyle K\) középpontja egy \(\displaystyle O\)-n átmenő körön fog mozogni.
Bizonyítás: Vegyük észre a következőt: ha az \(\displaystyle X\) pontot egyenletes szögsebességgel mozgatom a \(\displaystyle c\) körön, \(\displaystyle Y\) is egyenletes szögsebességgel mozog a \(\displaystyle k\) körön ugyanolyan irányban (ez a kerületi szögek tételének egyszerű következménye). Ilyenkor az \(\displaystyle XY\) és az \(\displaystyle YP\) egyenes is egyenletes szögsebességgel forog körbe ugyanolyan irányban, és ez azt jelenti, hogy a felezőmerőlegeseik is egyenletes szögsebességgel forognak körbe ugyanolyan irányban. Ha megmutatjuk, hogy van fixpontjuk, akkor a kerületi szögek tételének megfordítása alapján a metszéspontjaik egy körre fognak esni. A \(\displaystyle PY\) felezőmerőlegese esetén ez egyszerű, mert mind átmennek az \(\displaystyle O\) ponton (az ábrán a szaggatott egyenesek a vizsgált felezőmerőlegesek).
Az \(\displaystyle XY\) szakasz felezőmerőlegese esetén kicsit trükkösebb megtalálni ezt a pontot: az \(\displaystyle M\) pontot úgy kaphatjuk meg, hogy vesszük a két kör másik metszéspontján, a \(\displaystyle B\) ponton áthaladó, a két kör közös szimmetritengelyével párhuzamos egyenes metszéspontjait a két körrel, \(\displaystyle U\)-t és \(\displaystyle V\)-t, \(\displaystyle M\) pedig az így kapott szakasz felezőpontja lesz.
Ennek belátásához vegyük észre, hogy \(\displaystyle XU\) és \(\displaystyle YV\) is merőleges \(\displaystyle XY\)-ra A Thálesz-tétel és a megfordítása miatt (hiszen \(\displaystyle ABU\sphericalangle = ABV\sphericalangle = 90^{\circ}\), azaz \(\displaystyle AU\) és \(\displaystyle AV\) átmérő a megfelelő körben). Mivel \(\displaystyle M\) felezi \(\displaystyle UV\)-t, egyforma messze van az \(\displaystyle XU\) és az \(\displaystyle YV\) egyenestől is, de mivel \(\displaystyle XY\) merőleges a két egyenesre, így \(\displaystyle M\) rajta van \(\displaystyle XY\) felezőmerőlegesén, amely egyben az \(\displaystyle XU\) és \(\displaystyle YV\) egyenesektől egyforma távol lévő pontok halmaza is.
Innen pedig már a feladat állítása magától értetődő: mivel sem az \(\displaystyle O\), sem az \(\displaystyle M\) pont nem függ a \(\displaystyle P\) pont választásától, a kapott körök középpontja mindig rajta van az \(\displaystyle OM\) felezőmerőlegesén, készen vagyunk.
Megjegyzés: a megoldásban a mozgó pontok és forgó egyenesek gondolata helyettesíthető a következő egyszerű megfontolással is: merőleges szárú szögek miatt \(\displaystyle MKO\sphericalangle=XYP\sphericalangle\), ez utóbbiról pedig nem nehéz látni a kerületi szögek tételével, hogy nem függ az \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) választásától.
Statisztika:
8 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Bodor Mátyás, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Forrai Boldizsár, Philip Stefanov, Szakács Ábel, Varga Boldizsár, Wiener Anna.
A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai