Az A. 885. feladat (2024. szeptember)

A. 885. Legyen adva egy hegyesszögű nem egyenlőszárú $\displaystyle ABC$ háromszög. Legyen $\displaystyle BE$ és $\displaystyle CF$ a háromszög két magassága, $\displaystyle D$ pedig jelölje a háromszög beírt körének érintési pontját a $\displaystyle BC$ oldalon. A $\displaystyle BDE$ háromszög körülírt köre messe az $\displaystyle AB$ egyenest másodszor a $\displaystyle K$ pontban, a $\displaystyle CDF$ háromszög körülírt köre messe az $\displaystyle AC$ egyenest másodszor az $\displaystyle L$ pontban. A $\displaystyle BDE$ és a $\displaystyle CDF$ háromszögek körülírt körei a $\displaystyle KL$ egyenest másodszor rendre az $\displaystyle X$ és az $\displaystyle Y$ pontban metszik. Bizonyítandó, hogy a $\displaystyle DXY$ háromszög beírt körének középpontja az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körére esik.

Javasolta: Luu Dong, Vietnam

(7 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Legyen $\displaystyle k$ az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt köre, $\displaystyle I$ a középpontja. Jelölje a $\displaystyle DI$ egyenes és az $\displaystyle AC, AB$ egyenesek metszéspontját rendre $\displaystyle P, Q$. Jelölje $\displaystyle M, N$ a $\displaystyle k$ kör érintési pontjait az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ oldalakon. A $\displaystyle CI$ másodszor messe $\displaystyle S$-ben $\displaystyle CDF$ háromszög köréírt körét. Jelölje $\displaystyle J$ a $\displaystyle DXY$ háromszög beírt körének középpontját.

Világos, hogy a $\displaystyle P, Q, K, L$ pontok egy körön fekszenek, amelynek átmérője $\displaystyle PQ$. Ebből következik, hogy

$\displaystyle (QF, QD)\angle= (QK, QP)\angle=(LK, LP)\angle=(LY, LC)\angle.$

Tehát $\displaystyle DY \parallel CF$. Hasonlóan, $\displaystyle DX \parallel BE$.

Mivel $\displaystyle CS$ az $\displaystyle ACD \angle$ szögfelezője, ezért $\displaystyle YS$ a $\displaystyle KYD \angle$ szögfelezője. Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle S, J, Y$ kollineárisak. (1)

Tudjuk, hogy $\displaystyle S, M, I, Q$ egy körön fekszenek, amelynek átmérője $\displaystyle IQ$. Ez azt jelenti, hogy

$\displaystyle (SM, SI)\angle=(QM, QI)\angle.$

Ebből következik, hogy

$\displaystyle (SM, SC)\angle =(QF, QD)\angle=(SY, SC)\angle.$

Tehát $\displaystyle S, M, Y$ kollineárisak. (2)

Az (1) és (2) állításokból következik, hogy $\displaystyle M, J, Y$ kollineárisak. Hasonlóan, $\displaystyle N, J, X$ is kollineárisak. Így a következőket kapjuk:

$\displaystyle (XY, XD)\angle=(XH, XD)\angle=(BH, BD)\angle =-(BC, BA)\angle,$

és hasonlóan,

$\displaystyle (YX, YD)\angle=-(CB, CA)\angle.$

Ebből következik, hogy a $\displaystyle DXY$ és $\displaystyle ABC$ háromszögek hasonlóak. Tehát a $\displaystyle JXY$ és $\displaystyle IBC$ háromszögek is hasonlóak. Végül

$\displaystyle (JM, JN)\angle= (JY, JX)\angle=-(IC, IB)\angle=-(DN, DM)\angle=(DM, DN)\angle,$

amiből következik, hogy $\displaystyle J, M, N, D$ egy körön fekszenek.

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Forrai Boldizsár, Holló Martin, Keresztély Zsófia, Lasitha Vishwajith Jayasinghe, Szakács Ábel, Tianyue DAI, Varga Boldizsár, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai