 |
Az A. 889. feladat (2024. október) |
A. 889. Legyenek \(\displaystyle W, A, B\) rögzített valós számok, ahol \(\displaystyle W>0\). Bizonyítsuk be, hogy az alábbi állítások ekvivalensek.
- Ha az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\geq 0\) számokra teljesül, hogy \(\displaystyle x+y\leq z+W\), \(\displaystyle x+z\leq y+W\), \(\displaystyle {y+z\leq x+W}\), akkor \(\displaystyle Axyz+B\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\).
- \(\displaystyle B\geq W^{2}\) és \(\displaystyle AW^{3}+B\geq 3W^{2}\).
Javasolta: Somogyi Ákos (London)
(7 pont)
A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.
Vezessük be a következő jelölést:
\(\displaystyle H_{W}:=\left\{ \left(x,y,z\right):x,y,z\geq0\text{ and }x+y\leq z+W,\ x+z\leq y+W,\ y+z\leq x+W\right\} \)
Figyeljük meg a következőt:
\(\displaystyle \left(x+y\right)+\left(x+z\right)\leq\left(z+W\right)+\left(y+W\right)\Rightarrow x\leq W, \)
és persze hasonlóan \(\displaystyle y,z\le W\). Ha \(\displaystyle x=y=0\) és \(\displaystyle z=W\)-t helyettesítünk, akkor \(\displaystyle Axyz+B=B\) és \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=W^2\), tehát megkapjuk, hogy \(\displaystyle B\ge W^2\), és az \(\displaystyle x=y=z\) helyettesítéssel \(\displaystyle Axyz+B=AW^3+B\) és \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=3W^2\), azaz megkaptuk a \(\displaystyle AW^3+B\ge 3W^2\) egyenlőtlenséget is, azaz az első állításból következik a második.
Most mutassuk meg, hogy a második egyenlőtlenségből kötkezik az első. Vegyük észre a következőt:
\(\displaystyle Axyz+B=\left(\frac{2xyz}{W}+W^2\right)+\frac{AW^3+B-3W^2}{W^3}xyz+\frac{B-W^2}{W^3}(W^3-xyz), \)
és itt a második és a harmadik összeadandó nemnegatív (a feltételekből, illetve azért, mert \(\displaystyle 0\le x,y,z, \le W\) miatt \(\displaystyle 0\le xyz\le W^3\)). Tehét elég lenne belátni, hogy \(\displaystyle \frac{2xyz}{W}+W^2\ge x^2+y^2+z^2\). Ha most bevezetjük az \(\displaystyle a=x/W\), \(\displaystyle b=y/W\), \(\displaystyle c=z/W\) helyettesítést, akkor az a bizonyítandó, hogy az \(\displaystyle a+b\le c+1\), \(\displaystyle b+c\le a+1\) és \(\displaystyle c+a\le b+1\) egyenlőtlenségekből következik, hogy \(\displaystyle (2abc+1)\ge a^2+b^2+c^2\), ha \(\displaystyle a,b,c\ge 0\), ez pedig az A.371. feladat 2005 áprilisából, álljon itt egy lehetséges megoldás:
A bizonyítandó tehát a következő: \(\displaystyle 2abc+1-a^2-b^2-c^2\ge 0\) a megadott feltételekkel, amely egy poliédert jelöl ki. A kulcsmegfigyelés a következő: a bal oldalon szereplő függvény mindhárom változójában konkáv (hiszen egy negatív főegyütthatós másodfokú függvény), ezért a minimumát a tartomány szélén (a poliéder felszínén) veszi fel. Szimmetria miatt elég az \(\displaystyle a=0\) és az \(\displaystyle a+b=c+1\) eseteket megvizsgálni.
Az \(\displaystyle a=0\) eset egyszerű: azt kell belátnunk, hogy \(\displaystyle b^2+c^2\le 1\): \(\displaystyle b+c\le 1\) következik a feltételekből, és \(\displaystyle b^2+c^2\le (b+c)^2\), hiszen \(\displaystyle b,c\ge 0\). Az egyenlőség el is érhető, ha \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) közül az egyik 1, a másik 0, azaz a három változó között egy 1-es és két 0-s van.
Ha pedig \(\displaystyle a+b=c+1\), akkor \(\displaystyle 2abc+1-a^2-b^2-c^2=2ab(a+b-1)+1-a^2-b^2-(a+b-1)^2=2(a^2b+ab^2-a^2-b^2-2ab+a+b)=2(a+b)(ab-a-b+1)=2(a+b)(a-1)(b-1)\ge 0\), hiszen \(\displaystyle 0\le a,b \le 1\). Az egyenlőség esetét is érdemes megvizsgálni, itt általánosabban az jön ki, hogy az egyik változó 1, a másik kettő pedig egyenlő.
Statisztika:
Az A. 889. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai