Az A. 891. feladat (2024. november)

A. 891. Adott egy hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög. A \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\) pont rendre az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldal belsejében helyezkedik el. Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle AB'C'\) háromszögek körülírt körei \(\displaystyle M\)-ben, az \(\displaystyle ABC'\) és \(\displaystyle AB'C\) háromszögek körülírt körei pedig \(\displaystyle K\)-ban metszik egymást másodszor. Tükrözzük \(\displaystyle M\)-et az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) egyenesre, a két tükörképen átmenő egyenest jelöljük \(\displaystyle l\)-lel.

a) Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle M\)-en átmenő, \(\displaystyle AM\)-re merőleges egyenes, az \(\displaystyle AK\) egyenes és \(\displaystyle l\) vagy egy ponton mennek át, vagy mind párhuzamosak.

b) Igazoljuk, hogy ha a három egyenes az \(\displaystyle S\) ponton megy át, akkor az \(\displaystyle SBC'\) és \(\displaystyle SCB'\) háromszögek területe egyenlő.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Először a második állítást bizonyítjuk be.

Jelölje \(\displaystyle M_B\) és \(\displaystyle M_C\) \(\displaystyle M\) tükörképét az \(\displaystyle AB\) ill. \(\displaystyle AC\) egyenesre. Jelölje továbbá \(\displaystyle S\) az \(\displaystyle M\)-en keresztül húzott merőleges és az \(\displaystyle l=M_BM_C\) egyenes metszéspontját. A tükrözések miatt \(\displaystyle AM=AM_B=AM_C\), tehát \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle MM_BM_C\) körülírt körének középpontja. Az \(\displaystyle SM\) egyenes érinti ezt a kört, hiszen \(\displaystyle AM\)-re merőleges. Az érintő szárú kerületi szögek tétele alapján \(\displaystyle SMM_B\sphericalangle=SM_CM\sphericalangle\), így az \(\displaystyle SMM_B\) és \(\displaystyle SM_CM\) háromszögek hasonlók (szögeik páronként megegyeznek). Mivel ellentétes körüljárásúak, található egy \(\displaystyle \mathcal{L}\) irányításváltó hasonlósági transzformáció, amely egymásba viszi őket és az \(\displaystyle S\) pontot fixen tartja (például az \(\displaystyle MSM_B\sphericalangle\) szögfelezőjére való tükrözés és egy \(\displaystyle S\) középpontú középpontos hasonlóság egymásutánja). Ez a hasonlósági transzformáció az \(\displaystyle M_BM\) szakaszt az \(\displaystyle MM_C\) szakaszba képezi.

Most tekintsük a \(\displaystyle BM_BM\) és \(\displaystyle CM_CM\) háromszögeket. Mindkettő egyenlőszárú, hiszen \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) rajta van az \(\displaystyle M_BM\) ill. az \(\displaystyle M_CM\) felezőmerőlegesén. Azonban \(\displaystyle A\) mindkettő felezőmerőlegesen rajta van, így a kerületi szögek tétele alapján (az \(\displaystyle ABCM\) húrnégyszögben) \(\displaystyle MBM_B=2MBA\sphericalangle=2MCA\sphericalangle=MCM_C\sphericalangle\), azaz a két tekintett háromszög hasonló. Mivel a \(\displaystyle \mathcal{L}\) hasonlóság az \(\displaystyle M_BM\) szakaszt az \(\displaystyle MM_C\) szakaszba viszi, így a körüljárásokat is figyelembe véve \(\displaystyle B\) képe a \(\displaystyle C\) pont. Ugyanez a gondolatmenet az \(\displaystyle AB'C'\) háromszögre alkalmazva azt mutatja, hogy \(\displaystyle B'\) képe a \(\displaystyle C'\) pont. Így tehát \(\displaystyle \mathcal{L}\) a \(\displaystyle BB'\) szakaszt a \(\displaystyle CC'\) szakaszba képezi (mivel az \(\displaystyle MBB'\) és \(\displaystyle MCC'\) háromszögek körüljárása azonos). Mivel \(\displaystyle S\) fixpontja ennek a transzformációnak, így \(\displaystyle SCC'\) és \(\displaystyle SBB'\) hasonló és ellentétes körüljárású.

Ez azonnal bizonyítja a feladat második felét. A hasonlóság miatt \(\displaystyle C'SB\sphericalangle=CSB'\sphericalangle\) és \(\displaystyle BS/B'S=CS/C'S\). Így pedig

\(\displaystyle T_{BC'S}=\frac{1}{2}\cdot BS\cdot C'S\cdot \sin(BSC'\sphericalangle)=\frac{1}{2}\cdot CS\cdot BS'\cdot \sin(B'SC)=T_{CB'S}. \)

Most még az kell megmutatnunk, hogy \(\displaystyle AK\) is átmegy az \(\displaystyle S\) ponton. Vegyük észre, hogy azon \(\displaystyle X\) pontok mértani helye, melyre \(\displaystyle d(X,AB)/d(X,AC)=BB'/CC'\), két \(\displaystyle A\)-n átmenő egyenes uniója. Tudjuk, \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle K\) is ilyen (hiszen \(\displaystyle MBB'\triangle\sim MCC'\triangle\) és \(\displaystyle KBB'\triangle\sim KC'C\triangle\)), sőt a korábbiak miatt \(\displaystyle S\) is. Ebből világos, hogy ez a két egyenes az \(\displaystyle AM\) és az \(\displaystyle AK\) egyenes lesz, ezek valamelyikén rajta kell legyen \(\displaystyle S\), de mivel \(\displaystyle S\neq M\) és \(\displaystyle SM\perp AM\), \(\displaystyle S\in AK\).

Előfordulhat persze, hogy az egyenesek nem metszik egymást egy \(\displaystyle S\) pontban. Ekkor a hasonlósági transzformációnkban a nyújtás helyett egy eltolás szerepel (azaz most egy irányításváltó egybevágóság), tehát \(\displaystyle SBB'\) és \(\displaystyle SC'C\) most egymás tükörképe lesz, és a bizonyítás ugyanúgy megy.

Megjegyezzük, hogy az \(\displaystyle \mathcal{L}\) transzformációt tükrözve nyújtásnak nevezik, és belátható, hogy minden irányításváltó hasonlósági transzformáció tükrözve nyújtás.

Statisztika:

Az A. 891. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai