Az A. 894. feladat (2024. december)

A. 894. Az \(\displaystyle ABCDE\) konvex poliéder olyan, hogy a \(\displaystyle DE\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkját a háromszög belsejében metszi el. Forgassuk el a \(\displaystyle D\) pontot az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) egyenesek körül kifelé az \(\displaystyle ABC\) síkba; a kapott pontok legyenek \(\displaystyle D_1\), \(\displaystyle D_2\) és \(\displaystyle D_3\). Hasonlóan, az \(\displaystyle E\) pontot is forgassuk az \(\displaystyle ABC\) síkba az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) egyenesek körül kifelé; a kapott pontok legyenek \(\displaystyle E_1\), \(\displaystyle E_2\) és \(\displaystyle E_3\).

Mutassuk meg, hogy ha a poliédernek van beírt gömbje, akkor a \(\displaystyle D_1D_2D_3\) és az \(\displaystyle E_1E_2E_3\) háromszögek köréírt körei koncentrikusak.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a poliéderbe beírt gömb \(\displaystyle \mathcal{G}\), érintési pontjai az \(\displaystyle ABD\), \(\displaystyle BCD\), \(\displaystyle CAD\), \(\displaystyle BAE\), \(\displaystyle CBE\), \(\displaystyle ACE\) síkokon rendre \(\displaystyle T_1\), \(\displaystyle T_2\), \(\displaystyle T_3\), \(\displaystyle U_1\), \(\displaystyle U_2\), illetve \(\displaystyle U_3\).

I. Bár nyilvánvalónak tűnhet, gondoljuk meg, hogy a beírt gömb érintési pontjai a lapok belsejébe esnek. Legyen a \(\displaystyle \mathcal{G}\) középpontja \(\displaystyle I\). Ez a pont a poliéder lapszögfelező síkjain van, ezért például az \(\displaystyle ABI\), \(\displaystyle ADI\) és \(\displaystyle BDI\) háromszögek az \(\displaystyle ABD\) lappal hegyesszöget zárnak be.

A \(\displaystyle T_1\) pont az \(\displaystyle I\) merőleges vetülete az \(\displaystyle ABD\) síkon, ez a pont az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BD\), \(\displaystyle DA\) egyeneseknek az \(\displaystyle ABD\) háromszöget tartalmazó oldalán, tehát mindenképpen az \(\displaystyle ABD\) háromszög belsejében van. Hasonlóan láthatjuk, hogy a \(\displaystyle T_2\) pont a \(\displaystyle BCD\), a \(\displaystyle T_3\) pont a \(\displaystyle CAD\), \(\displaystyle U_1\) a \(\displaystyle BAE\), \(\displaystyle U_2\) a \(\displaystyle CBE\), az \(\displaystyle U_3\) pont pedig az \(\displaystyle ACE\) háromszög belsejébe esik.

II. A \(\displaystyle T_i\) és \(\displaystyle U_i\) pontoknak a megfelelő tengely körül az \(\displaystyle ABC\) síkba forgatott képeit jelölje \(\displaystyle T_i'\), illetve \(\displaystyle U_i'\) (\(\displaystyle i=1,2,3\)). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle T_i'=U_i'\) mindegyik \(\displaystyle i\)-re.

A kifelé forgatás miatt \(\displaystyle T_1'\) az \(\displaystyle ABD_1\) háromszög belsejében, \(\displaystyle U_1'\) pedig az \(\displaystyle ABE_1\) háromszög belsejében, tehát mindkettő az \(\displaystyle AB\) egyenesnek a \(\displaystyle C\)-vel ellentétes oldalán van. A \(\displaystyle \mathcal{G}\)-hez húzott egyenlő érintők miatt \(\displaystyle AT_1'=AT_1=AU_1=AU_1'\) és \(\displaystyle BT_1'=BT_1=BU_1=BU_1'\), tehát az \(\displaystyle ABT_1'\) és a \(\displaystyle ABU_1'\) háromszögek egybevágók; de ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle T_1'=U_1'\). Hasonlóan láthatjuk, hogy \(\displaystyle T_2'=U_2'\) és \(\displaystyle T_3'=U_3'\).

III. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder \(\displaystyle ABC\) laphoz hozzáírt gömbje \(\displaystyle \mathcal{G}_D\), érintési pontjai az \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle ABD\), \(\displaystyle BCD\), \(\displaystyle CAD\) síkokon rendre \(\displaystyle P_0\), \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), illetve \(\displaystyle P_3\). Azt állítjuk, hogy a \(\displaystyle D_1D_2D_3\) és a \(\displaystyle T_1'T_2'T_3'\) körök koncentrikusak, a közös középpontjuk a \(\displaystyle P_0\) pont.

A \(\displaystyle \mathcal{G}\) és \(\displaystyle \mathcal{G}_D\) gömböket egy \(\displaystyle D\) középpontú nagyítás viszi egymásba, ezért mindegyik \(\displaystyle T_i\) pont a megfelelő \(\displaystyle DP_i\) szakasz belsejébe esik. A \(\displaystyle D\) pontból a gömbökhöz húzott érintő szakaszok egyenlők, így

\(\displaystyle DT_1=DT_2=DT_3, \quad DP_1=DP_2=DP_3 \quad\text{és} \quad T_1P_1=T_2P_2=T_3P_3. \)

Az \(\displaystyle ABD\) lapnak az \(\displaystyle ABD_1\) háromszögbe forgatását helyettesíthetjük az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder \(\displaystyle AB\)-re fektetett külső lapszögfelező síkjára való tükrözéssel, ekkor tehát \(\displaystyle D\) tükörképe \(\displaystyle D_1\), \(\displaystyle T_1\) tükörképe \(\displaystyle T_1'\), és \(\displaystyle P_1\) tükörképe \(\displaystyle P_0\). Ugyanígy, a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle T_2\), \(\displaystyle P_2\) pontoknak az \(\displaystyle BC\) élhez tartozó külső lapszögfelező síkra vonatkozó tükörképei \(\displaystyle D_2\), \(\displaystyle T_2'\), illetve \(\displaystyle P_0\), végül az \(\displaystyle D\), \(\displaystyle T_3\), \(\displaystyle P_3\) pontoknak a \(\displaystyle CA\)-hoz tartozó külső lapszögfelező síkra való tükörképei \(\displaystyle D_3\), \(\displaystyle T_3'\), illetve \(\displaystyle P_0\).

A tükrözések miatt

\(\displaystyle D_1P_0=DP_1, \quad D_2P_0=DP_2 \quad\text{és}\quad D_3P_0=DP_3, \)

\(\displaystyle T_1'P_0=T_1P_1, \quad T_2'P_0=T_2P_2 \quad\text{és}\quad T_3'P_0=T_3P_3. \)

Azt már láttuk, hogy \(\displaystyle DP_1=DP_2=DP_3\) és \(\displaystyle T_1P_1=T_2P_2=T_3P_3\), így \(\displaystyle D_1P_0=D_2P_0=D_3P_0\) és \(\displaystyle T_1'P_0=T_2'P_0=D_3'P_0\); a \(\displaystyle D_1D_2D_3\) és a \(\displaystyle T_1'T_2'T_3'\) kör középpontja is \(\displaystyle P_0\).

IV. Az előző pont szerint a \(\displaystyle D_1D_2D_3\) és \(\displaystyle T_1'T_2'T_3'\) körök koncentrikusak. Az \(\displaystyle ABCE\) tetraédernek az \(\displaystyle ABC\) laphoz hozzáírt gömbje segítségével ugyanígy igazolhatjuk, hogy az \(\displaystyle E_1E_2E_3\) kör koncentrikus az \(\displaystyle U_1'U_2'U_3'\) körrel. Mivel azonban a \(\displaystyle T_1'T_2'T_3'\) és az \(\displaystyle U_1'U_2'U_3'\) kör azonos, a \(\displaystyle D_1D_2D_3\) és az \(\displaystyle E_1E_2E_3\) kör egymással is koncentrikus, és az is igaz, hogy a két hozzáírt gömb ugyanabban a pontban érinti az \(\displaystyle ABC\) háromszöglapot.

Megjegyzés. A megoldás a hozzáírt gömbök nélkül is elmondható.

Mivel \(\displaystyle BT_1'=BT_1=BT_2=BT_2'\), \(\displaystyle D_1B=DB=D_2B\) és \(\displaystyle D_1T_1'=DT_1=DT_2=D_2T_2'\), a \(\displaystyle BT_1'D_1\) és \(\displaystyle BT_2'D_2\) háromszögek egybevágók, és mivel \(\displaystyle T_1'\) az \(\displaystyle ABD_1\), \(\displaystyle T_2'\) pedig az \(\displaystyle CBD_2\) háromszögnek belső pontja, az irányításuk ellentétes.

Ezért a \(\displaystyle D_1D_2T_2'T_1'\) négyszög szimmetrikus trapéz, a szimmetriatengelye a \(\displaystyle D_1D_2\) és \(\displaystyle T_1'T_2'\) alapok közös felezőmerőlegese. Ugyanez a \(\displaystyle D_2D_3T_3'T_2'\) és \(\displaystyle D_3D_1T_1'T_3'\) négyszögekről is elmondható. A közös oldalfelező merőlegesek miatt a \(\displaystyle D_1D_2D_3\) és \(\displaystyle T_1'T_2'T_3'\) háromszögek köré írt körök középpontja ugyanaz.

Statisztika:

Az A. 894. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai