Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3802. feladat (2005. március)

B. 3802. Hét valós szám közül bármelyik háromnak az összege kisebb, mint a többi négy összege. Bizonyítsuk be, hogy valamennyi szám pozitív.

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a 7 szám $a_1\le a_2\le \ldots \le a_7$ . Ekkor

a₂+a₃+a₄ $\le$ a₅+a₆+a₇.

Ha tehát a₁ $\le$ 0 lenne, akkor

a₁+a₂+a₃+a₄ $\le$ a₅+a₆+a₇

is teljesülne, ami viszont ellentmond a feltételeknek. Ezért hát a₁>0, következésképpen a_i $\ge$ a₁>0 is igaz minden 1 $\le$ i $\le$ 7 esetén.

171 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 100 versenyző.

2 pontot kapott: 60 versenyző.

1 pontot kapott: 7 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.