A B. 3804. feladat (2005. március)

B. 3804. A zsebünkben van egy 10 Ft-os és néhány (legalább négy) 20 Ft-os. Egymás után találomra kiveszünk egy-egy érmét, míg a kivett összeg 30 Ft pozitív egész számú többszöröse nem lesz. Átlagosan hány húzásra van ehhez szükség?

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje k a 20 Ft-osok számát. Az első húzásnál ${1\over k+1}$ valószínűséggel húzzuk ki a 10 Ft-ost, és mivel ekkor másodikra már biztosan 20 Ft-ost húzunk, a második húzás után már 30 Ft-unk lesz, ekkor tehát megállunk.

Feltéve, hogy először 20 Ft-ost húztunk (ennek ${k\over k+1}$ a valószínűsége), ${1\over k}$ valószínűséggel a 10 Ft-ost húzzuk ki másodikra, amikor is megállunk (ennek az eseménynek tehát ${k\over k+1}\cdot{1\over k}={1\over k+1}$ a valószínűsége), ${k-1\over k}$ valószínűséggel pedig újra 20 Ft-os érmét húzunk, amikor is tovább kell folytatnuk a húzást.

Feltéve, hogy az első két alkalommal 20 Ft-ost húztunk (ennek tehát ${k-1\over k+1}$ a valószínűsége), ${k-2\over k-1}$ valószínűséggel húzunk újabb 20 Ft-ost, ami által összesen 60 Ft-unk lesz, és megállhatunk. Ennek az eseménynek tehát ${k-1\over k+1}\cdot{k-2\over k-1}={k-2\over k+1}$ a valószínűsége. A fennmaradó ${1\over k+1}$ valószínűséggel rendelkező esetben, amikor tehát először két 20 Ft-ost, majd egy 10 Ft-ost húztunk, már csak 20 Ft-osok vannak a zsebünkben, tehát még pontosan 2 húzásra lesz szükségünk.

Legfeljebb 5 húzásra van tehát szükségünk, és k $\ge$ 4 esetén a fent leírt események mind meg is valósulhatnak. Annak a valószínűsége, hogy két húzásra van szükség, $P(2)={2\over k+1}$ , annak a valószínűsége, hogy három érmét kell húznunk, $P(3)={k-2\over k+1}$ , annak pedig, hogy öt húzással tudjuk elvégezni a feladatot, $P(5)={1\over k+1}$ . Átlagosan tehát

$E=2P(2)+3P(3)+5P(5)={4\over k+1}+{3(k-1)\over k+1}+{5\over k+1}=3$

húzásra van szükség.

Statisztika:

165 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 111 versenyző.

3 pontot kapott: 8 versenyző.

1 pontot kapott: 41 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai

165 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	111 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	41 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?