Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3805. feladat (2005. március)

B. 3805. Egy húrnégyszög oldalai a, b, c, d, kerülete 2s, az a és b oldalak által bezárt szöge pedig \alpha. Mutassuk meg, hogy

\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Először alakítsuk át a jobboldali kifejezést:

\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}=\frac{(c+d+b-a)(c+d+a-b)}{(a+b+d-c)(a+b+c-d)} =\frac{(c+d)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-(c-d)^2}.

Legyen e annak az átlónak a hossza, amely az a és d hosszúságú oldalak metszéspontjából indul. Mivel a c és d oldalak által bezárt szög 180o-\alpha, ennek a szögnek a koszinusza -cos \alpha lesz. A koszinusz tétel alapján tehát

a2+b2-2abcos \alpha=e2=c2+d2+2cdcos \alpha.

Ennek alapján

\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}= \frac{[e^2+2cd(1-\cos\alpha)]-[e^2-2ab(1-\cos\alpha)]} {[e^2+2ab(1+\cos\alpha)]-[e^2-2cd(1+\cos\alpha)]}=

=\frac{2cd(1-\cos\alpha)+2ab(1-\cos\alpha)} {2ab(1+\cos\alpha)+2cd(1+\cos\alpha)}= \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}= \frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)}=\tan^2\frac{\alpha}{2}.

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:80 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai