 |
A B. 3814. feladat (2005. április) |
B. 3814. Az n és k pozitív egészek, amelyekre teljesül, hogy 2kn|k2+n2-k. Bizonyítsuk be, hogy k négyzetszám.
(4 pont)
A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen k és n legnagyobb közös osztója (k,n)=d. Ekkor 2kn osztható d2-tel. Mivel k2 és n2 is osztható d2-tel, a feltétel csak úgy teljesülhet, ha k is osztható d2-tel. Alkalmas a,b pozitív egészek segítségével tehát k=d2a és n=db, ahol k/d és n/d már relatív prímek, vagyis (da,b)=1. Ebből adódóan a és b is relatív prímek, következésképpen (a,b2)=1 is teljesül. A feltétel szerint , vagyis
. Ezért
, ami (a,b2)=1 miatt csak úgy lehetséges, ha a=1. Ennélfogva k=d2a=d2 valóban négyzetszám.
Statisztika:
63 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bitai Tamás, Blázsik Zoltán, Csorba János, Dányi Zsolt, Dobos Gábor, Eckert Bernadett, Estélyi István, Farkas Ádám László, Gehér György, Gombkötő Tamás, Gyenizse Gergő, Győrffy Lajos, Halász Veronika, Hartmann Zoltán, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss 111 Viktor, Kiss-Tóth Christian, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Kónya 495 Gábor, Korándi Dániel, Kornis Bence, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Lamm Éva, Maros Máté Előd, Mészáros Gábor, Müller Márk, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Pap Máté, Strenner Balázs, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Tomon István, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Ureczky Bálint, Üveges Lilla. 3 pontot kapott: Cserép Gergely, Tossenberger Anna, Ungi Gergely. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai